Eigenwert einer Matrix ...

02.03.2010, 18:56

mrtommy

Eigenwert einer Matrix ...

Hallo zusammen,

habe folgendes Prblem zu der Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich soll die Eigenwerte bestimmen und zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ = 1 den Eigenvektor bestimmen!

Eigenwerte habe ich alle raus -1,1,6

Nun wie berechne ich den Eigenvektor zu 1 ?!

kann mir das einer exemplarisch vorrechen ? Ich habe irgendwie Probleme damit, dass ich 2 Gleichungen habe mit 3 Variabeln! Wie schreibe ich das als Vektor? Wie muss ich hier substituieren? Wie komme ich von der Matrix zum Vektor?

vielen Dank für eure hilfe

02.03.2010, 18:59

Mazze

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Zitat:

Ich habe irgendwie Probleme damit, dass ich 2 Gleichungen habe mit 3 Variabeln!

Dann hast Du was falsch gemacht, man hat immer genausoviele Gleichungen wie Variable, allerdings mindestens eine Nullzeile.

Zitat:

Nun wie berechne ich den Eigenvektor zu 1 ?!

Es gibt nicht "den" Eigenvektor. Zu jedem Eigenwert gibt es immer unendlich viele Eigenvektoren, diese bilden sogar einen Vektorraum, den sogennanten Eigenraum. Zu berechnung :

Sei $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ein Eigenwert, dann suchst Du einen Vektor v so dass

$\begin{eqnarray*} Av = \lambda v \end{eqnarray*}$

gilt. Das kann man umstellen zu

$\begin{eqnarray*} (A - \lambda I)v = 0 \end{eqnarray*}$

dabei ist I die Einheitsmatrix. Schlussendlich musst Du also nur für Lambda den Eigenwert 1 einsetzen, und dann das lineare Gleichungssystem lösen.

02.03.2010, 19:06

WebFritzi

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Zitat:

Original von Mazze

Zitat:

Ich habe irgendwie Probleme damit, dass ich 2 Gleichungen habe mit 3 Variabeln!

Dann hast Du was falsch gemacht, man hat immer genausoviele Gleichungen wie Variable, allerdings mindestens eine Nullzeile.

Nein, er hat nichts falsch gemacht. Wenn er eine Nullzeile hat, dann bleiben halt summasummarum 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Und das, was du darunter noch schreibst, hat mrtommy offensichtlich alles schon gemacht.

@mrtommy: Wende zuerst Gauß auf dein LGS an und verwende dann z.B. z als Parameter. Dann kannst du die Lösung hinschreiben mit $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb R. \end{eqnarray*}$

02.03.2010, 19:30

mrtommy

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RE: Eigenwert einer Matrix ...
Vielen Dank WebFritzi,

wenn ich nun x2 = $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ und x3 = $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ setzte,

sodass ich dann x1= $\begin{eqnarray*} -\beta -3\gamma\ \end{eqnarray*}$ und daraus

x $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \beta \\ -\beta -3\gamma\\ \gamma\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
erhalte ???

02.03.2010, 19:33

mrtommy

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= $\begin{eqnarray*} \beta \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

02.03.2010, 19:46

Mazze

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Warum wählst Du 2 Parameter? Du hast 3 verschiedene Eigenwerte, da es sich um eine 3x3 Matrix handelt sind die entsprechenden Eigenräume jeweils 1-Dimensional, sprich , die Lösung ist durch einen einzigen Parameter beschreibbar. Mit anderen Worten, beta muss von gamma abhängen oder umgekehrt. Ansonsten kannst Du es prima selbst überprüfen, wenn

$\begin{eqnarray*} \beta \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Eigenvektoren zum Eigenwert 1 sein sollen, dann muss

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}\left(\beta \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 1\end{pmatrix}\right) = \beta \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gelten. Und das gilt offenbar nicht. Weder $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sind Eigenvektoren zum Eigenwert 1. Allerdings dürfte eine bestimmte Linearkombination beider einen Eigenvektor ergeben. Aber aus dem hier

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \beta \\ -\beta -3\gamma\\ \gamma\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

schliesse ich, das Du beim lösen einen Fehler gemacht hast, bzw. nicht nach Beta umgestellt hast. Poste doch mal deine einzelnen Schritte beim auflösen.

Was die Nullzeilen angeht, es ist richtig, Nullzeilen geben keine weiteren Informationen, für jede Nullzeile führt man aber einen Parameter ein.

02.03.2010, 19:54

mrtommy

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ich kapiers einfach nich ... wie wähle ich nur einen parameter? setze ich das nochmal in die andere gleichung ein ? hmm joah .. ich habs beim schreiben gerade bemerkt^^ei ei ei .... is scho spät Hammer

02.03.2010, 19:56

Mazze

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Wie wäre es wenn Du die Lösung noch postest? Augenzwinkern

02.03.2010, 20:00

mrtommy

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hmmm ... wie wäre es wenn du sie mir nochmal mit schritten postest? ^^

02.03.2010, 20:03

Mazze

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Ich kenne die Lösung, und dein letzter Post hat mich eigentlich überzeugt das Du die Lösung auch kennst. Von daher dachte ich um das Thema abzuschließen wäre eine Lösung nicht schlecht Augenzwinkern

02.03.2010, 20:06

mrtommy

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.. jetz quäl mich armen bio studenten nich .... lösung bitte Augenzwinkern

02.03.2010, 20:15

Mazze

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Lösungen gibt es aus Prinzip nicht in diesem Forum. Ich kanns Dir aber Beispielhaft für eine andere Matrix zeigen, betrachte das LGS

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} x = 0 \end{eqnarray*}$

Dritte Zeile :

Hier steht

$\begin{eqnarray*} x_3 * 0 = 0 \end{eqnarray*}$

Wir setzen $\begin{eqnarray*} x_3 = \lambda \end{eqnarray*}$

Zweite Zeile :

$\begin{eqnarray*} 1*x_2 + 1*\lambda = 0 \end{eqnarray*}$

Umgestellt :

$\begin{eqnarray*} x_2 = - \lambda \end{eqnarray*}$

Erste Zeile :

$\begin{eqnarray*} 1 *x_1 - 2*\lambda + 0*\lambda = 0 \end{eqnarray*}$

Umgestellt:

$\begin{eqnarray*} x_1 = 2 \lambda \end{eqnarray*}$

Also erhalten wir als Lösungsmenge :

$\begin{eqnarray*} \left\{ \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix} | \lambda \in \mathbb{R}\right\} \end{eqnarray*}$

Voraussetzung ist, das die Matrix in Zeilenstufenform ist.

02.03.2010, 20:18

mrtommy

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jo..... danke, so hatte ich jetzt letzten endes auch ....

02.03.2010, 20:19

Mazze

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Zitat:

jo..... danke, so hatte ich jetzt letzten endes auch ....

Dann hättest Du ja in der Lage sein müssen die Lösung anzugeben. Ob die Lösung richtig ist kann man bei Gleichungssystemen sowieso immer selbst überprüfen.

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Eigenwert einer Matrix ...

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