Selber Schwerpunkt von Dreieck und Mittendreieck

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02.03.2010, 19:46	jawo3	Auf diesen Beitrag antworten »
Selber Schwerpunkt von Dreieck und Mittendreieck Hallo, Mir wurde folgende Aufgabe gestellt: "Zeige vektoriell, dass das von den Seitenmittelpunkten eines Dreiecks ABC gebildete Dreieck MaMbMc den selben Schwerpunkt hat wie das Dreieck ABC. Ich weiß (und habe bewiesen), dass sich in jedem Dreieck die Seitenhalbierenden zweier Seiten im Verhältnis 2:1 schneiden und sich daher alle Seitenhalbierenden im Schwerpunkt schneiden. Wenn meine Überlegungen richtig sind, müsste ich die Aussage bewiesen haben, wenn ich zeige, dass eine Seitenhalbierende des Mittendreiecks, ein Vielfaches der entsprechenden Seitenhalbierenden des großen Dreiecks ist. Vom Ansatz her habe ich jetzt erstmal versucht, die Seitenhalbierenden des Mittendreiecks über die Vektoren a, b und c des großen Dreiecks auszudrücken, also: a2=1/3(a+1/2b) b2=a+1/3(b+1/2c) c2=1/2a+1/3(1/2a+b) Nur weiß ich jetzt leider nicht, wie ich weiter machen muss, sofern der Ansatz soweit richtig ist. Vielleicht könnt ihr mir ja ein paar Tips geben. Vielen Dank jawo3 (Btw: a,b,c sind natürlich Vektoren, ich weiß nicht wie man Vektorpfeile machen kann :-) )
02.03.2010, 22:04	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst den Beweis leicht führen, wenn du mit den Ortsvektoren $\begin{eqnarray} \vec a \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \vec b \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \vec c \end{eqnarray}$ zu den Eckpunkten des Dreieckes arbeitest. Für den Schwerpunktsvektor $\begin{eqnarray} \vec s \end{eqnarray}$ gilt ja $\begin{eqnarray} \vec s = \frac 1 3 (\vec a + \vec b + \vec c) \end{eqnarray}$ Nun kannst du das analog für das aus den Seitenmittelpunkten gebildete Dreieck machen. Dessen Eckpunkte sind $\begin{eqnarray} \frac 1 2 (\vec a + \vec b), \frac 1 2 (\vec b + \vec c) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac 1 2 (\vec a + \vec c) \end{eqnarray}$ .... Der Beweis ist in einer Zeile fertig. mY+
02.03.2010, 22:38	jawo3	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube nicht, dass mir der Schwerpunktvektor bzw. seine Formel bekannt ist, ich habe zumindest noch nie twas davon gehört... Könntest du mir erklären, was damit gemeint ist, oder hast du einen alternativen Denkansatz parat?
02.03.2010, 22:51	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast doch geschrieben, dass du das durch den Schwerpunkt bestimmte Teilverhältnis auf den Seitenhalbierenden schon bewiesen hast. Daher gilt beispielsweise: $\begin{eqnarray} \vec s = \vec {M_c} + \frac 1 3 \overrightarrow{M_cC} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec s = \frac 1 2 (\vec a + \vec b) + \frac 1 3 \cdot (\vec c - \frac 1 2 (\vec a + \vec b)) = \frac {\vec a} 2 + \frac {\vec b} 2 + \frac {\vec c} 3 - \frac {\vec a} 6 - \frac {\vec b} 6 = \frac 1 3 (\vec a + \vec b + \vec c) \end{eqnarray}$ mY+
02.03.2010, 23:05	jawo3	Auf diesen Beitrag antworten »
ich kann dem noch nicht ganz folgen. In einer vorherigen Aufgabe habe ich lediglich bewiesen, dass $\begin{eqnarray} n(\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b})=\vec{a}+m(\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}) \end{eqnarray}$ dann mit Hilfe von a+b+c=0 auf zwei Vektoren reduziert, umgeformt, Koeffizienten gleich 0 gesetzt weil linear unabhängig, umgeformt und für m und n jeweils 2/3 rausbekommen. Das ist das einzige was ich habe. Ich verstehe das vorgehen in der zweiten Aufgabe (also der hier gestellten) noch nicht ganz und weiß nicht recht wie ich anfangen soll und was eigentlich mein Ziel ist...
02.03.2010, 23:13	jawo3	Auf diesen Beitrag antworten »
So sieht die Skizze dazu aus (damit wir auch mit den gleichen Sachen arbeiten): Edit (mY+): Keine Links zu externen Uploadseiten. Hänge deine Grafik im Beitrag an!
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02.03.2010, 23:25	jawo3	Auf diesen Beitrag antworten »
und hier nochmal mit sa, sb, und sc... Edit (mY+): Keine Links zu externen Uploadseiten. Hänge deine Grafik im Beitrag an!
02.03.2010, 23:29	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast in der vorigen Aufgabe nicht mit Ortsvektoren, sondern mit den Seitenvektoren des Dreieckes gerechnet. Das war durchaus sinnvoll und damit konntest du das konstante Teilverhältnis von 1 : 2 zeigen. Diese Kenntnis allein reicht aus, um den Beweis, wie lt. Vorschlag in meinem vorigen Beitrag gezeigt, erfolgreich zu führen. Allerdings waren ab nun Ortsvektoren einzuführen, und zunächst wurde damit die angegebene Beziehung für den Schwerpunkt gezeigt. Du hast dies nur noch analog für das Dreieck, gebildet aus den Seitenmittelpunkten, durchführen. Bestehen bei dir Probleme, mit den Ortsvektoren zu rechnen? Ansonsten müsstest du im Mittendreieck dessen Seitenhalbierenden ebenfalls in a, b ausdrücken. Es genügt dann, zu zeigen, dass sie identisch mit den Seitenhalbierenden des großen Dreieckes sind. mY+
02.03.2010, 23:35	jawo3	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß leider nicht, wie ich das mit Ortsvektoren in Verbindung bringen könnte. Wir haben das Thema noch nicht solange und den Ortsvektor als Vektor vom Nullpunkt ausgehend kennengelernt. Währe das dann in diesem Fall der Punkt S? Bevorzugen würde ich deinen zweiten Vorschlag mit dem Ausdrücken der Seitenhalbierenden durch a und b. Ich habe da ja auch schon Anfänge versucht (s. 1. Post) aber ich weiß nicht so recht, wie ich das genau durch a und b ausdrücken kann bzw mit was das dann gleichzusetzen ist. Betrachte ich den größeren oder den kleineren Teil der Seitenhalbierenden in dem Mittendreieck?
02.03.2010, 23:46	jawo3	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, für die Links. Hier mal die Datei im Anhang, morgen werde ich mich auch endlich mal hier anmelden... [attach]13733[/attach]
03.03.2010, 00:01	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \vec s \end{eqnarray}$ ist der Ortsvektor zum Schwerpunkt S, ja. ___________ Beim anderen Weg hast du eigentlich nur zu zeigen, dass alle Seitenhalbierenden des Mittendreieckes genau auf jene des ursprünglichen Dreieckes zu liegen kommen. Dann müssen diese sich auch in dem gemeinsamen Punkt S schneiden. mY+
03.03.2010, 07:02	jawo3	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist das ein Nullvektor? Wenn ich von S ausgehe und a+b+c ausführe bin ich doch wieder im Schwerpunkt oder?
03.03.2010, 13:58	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber woher denn. Ortsvektoren gehen immer vom Nullpunkt zu dem jeweiligen Punkt (dem "Ort", an dem sich der Punkt befindet). Also lautet z.B. der Ortsvektor von A(2; 3; 4) $\begin{eqnarray} \vec a = \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Komponenten des Ortsvektors sind identisch mit den Koordinaten des Endpunktes. Das ist zum Rechnen natürlich sehr angenehm. Somit lautet der Vektor $\begin{eqnarray} \overrightarrow{AB} = \vec b - \vec a \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} \vec a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec b \end{eqnarray}$ die Ortsvektoren zu den Punkten A, B sind. Der Ortsvektor zum Mittelpunkt der Seite AB ist demgemäß $\begin{eqnarray} \overrightarrow{OM_c} = \vec {M_c} = \vec a + \frac 1 2 (\vec b - \vec a) = \frac 1 2 (\vec a + \vec b) \end{eqnarray}$ Letztendlich kamen wir dann zu $\begin{eqnarray} \vec S = \frac 1 3 (\vec a + \vec b + \vec c) \end{eqnarray}$ mY+
03.03.2010, 14:44	jawo3	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe irgendwie noch nicht das Verständnis für diese Ortsvektoren. Ich kann mir nicht räumlich Pfeile vorstellen, die vom Nullpunkt, der nicht auf der Skizze ist zu einem Punkt führt,falls das so gemeint ist. Wie soll man denn damit rechnen? Ich stelle mir gerade ein Dreieck im zweidimensionalen Koordinaten System vor, dessen Eckpunkte über Pfeile mit dem Nullpunkt verbunden sind... Wir haben bisher immer nur mit den Seitenvektoren des Dreiecks gearbeitet...
03.03.2010, 14:46	jawo3	Auf diesen Beitrag antworten »
oder ist damit gemeint, dass einer der Eckpunkte (z.B A) gleich der Nullpunkt ist???
03.03.2010, 20:53	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, so ist das nicht gemeint. Du wirst allerdings kaum umhin können, dich doch mit den Ortsvektoren vertraut zu machen, denn letztendlich beruht die gesamte analytische Geometrie darauf. In jeder vektoriellen Funktionsgleichung eines geometrischen Objektes ist der Variablenvektor $\begin{eqnarray} \vec x \end{eqnarray}$ ein Ortsvektor zu einem beliebigen Punkt, den das Objekt enthält. Der Vektor hat seinen Ursprung im Nullpunkt und dessen Pfeilspitze endet in diesem Punkt. Praktisch ist, dass deswegen die Komponenten dieses Vektors mit den Koordinaten des Endpunktes identisch sind. Und deswegen wirst du dich auch sehr rasch daran gewöhnen, umso mehr, da alle bereits dir bekannten Vektorgesetze unverändert ihre Gültigkeit behalten. mY+

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