Spur Sigma Algebra

20.10.2006, 19:20

Seb17

Spur Sigma Algebra

Guten Abend, zusammen ... Bräuchte wohl Hilfe bei folgender Aufgabe. Danke im Voraus!

Seien $\begin{eqnarray*} \{ \}\neq B\subset\Omega \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra über $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} B\cap\mathcal{A}:=\{B\cap\mathcal{A}\mid A\in\mathcal{A}\} \end{eqnarray*}$ ist eine $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra über $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ .

Dass $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ drin ist, ist mir klar. Es müsste ja gelten:
$\begin{eqnarray*} \mathcal{A} &\sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Omega\in\mathcal{A}\Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} B\cap\Omega=B \end{eqnarray*}$ (insbesondere, da B Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ).
Dann müsste ich ja als nächstes zeigen, dass aus z.B. F $\begin{eqnarray*} \in B\cap\mathcal{A} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ F komplement $\begin{eqnarray*} &\in B\cap\mathcal{A} \end{eqnarray*}$ . Nur wie mache ich das? smile

Vielen Dank für eure Hilfe, Seb17

20.10.2006, 23:25

Ben Sisko

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RE: Spur Sigma Algebra

Zitat:

Original von Seb17
Dass $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ drin ist, ist mir klar. Es müsste ja gelten:
$\begin{eqnarray*} \mathcal{A} &\sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Omega\in\mathcal{A}\Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} B\cap\Omega=B \end{eqnarray*}$ (insbesondere, da B Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ).

Damit hast du bis jetzt gezeigt, dass B drin ist...

21.10.2006, 01:50

20_Cent

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aber Sigma-Algebra über B heißt doch, dass B drin sein muss, und nicht omega.
Also ist das schon ok so.
Jetzt nimmste ein element aus der Menge und schaust dir das Komplement an.
Das Element hängt ja nur vom gewählten a aus der Sigma-Algebra A ab, also müsstest du das Komplement bezüglich B einfach als Rest darstellen können. Und der liegt drin. Nur Formal aufschreiben kann ich das um diese Uhrzeit nicht mehr^^
mfG 20

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