Beweis Ableitung von f(x)=x^n - Seite 2

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03.03.2010, 17:25

Airblader

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@ Igrizu

Muss man dir nun auch alles mehrfach sagen? Big Laugh

Sie hatte - scheinbar - noch keine vollständige Induktion. Der Weg scheidet also aus.

air

03.03.2010, 17:38

WannaBeMathWhiz:D

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Der Anfang ist doch eigentlich dann gleich, wie bei deinem Beispiel f(x)=x^2 ? nur anstatt des h's ein n oder??

aber den Schluss bekomm ich nich hin....

03.03.2010, 18:02

Manueldx

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Hallo!
Ich bin selber in der 11. Klasse und auch ich kenne die vollständige Induktion nur grob und vom Namen. Ich denke das Beweisverfahren ist auch ein bisschen krass für den Anfang.

Wie schon mehrfach erwähnt solltest du die bewusst werden, was der Differenzenquotient ist. Ich denke die Steigung von Geraden (linearen Funktionen) wirst du berechnen können und dann überlege mal, ob es da nicht vielleicht ein paar Gemeinsamkeiten gibt. Augenzwinkern

Hilfreich wäre auch wenn du dich mal über Sektanten, Tangenten und deren Steigungen informierst, um das Prinzip der Ableitung mit dem Grenzwert zu verstehen.
Dann solltest du dir nochmal klar werden was Grenzwerte sind und wie man sie bildet (vor allem da du ja bisher nur gegen unendlich gegangen bist).

Aber bitte sprich vielleicht auch erstmal mit deinem Mathelehrer, weil ich kann verstehen, dass du die Definitionen der Begriffe nicht verstehst, aber wenn du die nicht mal die Steigungsbeziehung zwischen x und y verstehst, wäre ein Gespräch mit deinem Lehrer wohl sinnvoll, da du sonst nur schlechte Noten kriegst und was nicht zum Nachholen kommst.

03.03.2010, 18:41

lgrizu

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@air
mist, hab ich wirklich nicht dran gedacht, also alternativ

Zitat:

Original von WannaBeMathWhiz
Der Anfang ist doch eigentlich dann gleich, wie bei deinem Beispiel f(x)=x^2 ? nur anstatt des h's ein n oder??

aber den Schluss bekomm ich nich hin....

der anfang ist gleich, aber nicht statt des h ein n sondern statt des exponenten, nen bisschen aufpassen....
müsste aber auch ohne induktion gehen:
$\begin{eqnarray*} \frac{f(x+h)-f(x)}{x+h-x}=\frac{(\sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} x^{n-k}h^k)-x^n}{h}=\frac{x^n+n*x^{n-1}h+.......+h^n-x^n}{h}=\frac{h}{h}((nx^{n-1})+......+h^{n-1}) \end{eqnarray*}$
nun verbleibt in allen summanden (gaaanz rechts) ausser dem ersten ein h, wenn also h gegen null geht fallen die alle weg und es bleibt einer übrig....

edit: und ich würde mittelfristig wirklich mit meinem lehrer sprechen oder mir einen nachhilfelehrer suchen um das ganze aufzuarbeiten, es wird immer mehr und das sind grundlagen die sitzen müssen, frag deine eltern, kennst du nen mathestudenten, häng nen schild an die nächste uni....

03.03.2010, 18:46

Airblader

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@ Igrizu

Ich will doch stark bezweifeln, dass ein Schüler der 11. Klasse

das Summenzeichen
den Binomialkoeffizienten
den Binomischen Lehrsatz

kennt.

Die ersten beiden Punkte liegen noch irgendwo im Bereich des Möglichen. Aber den binomischen Lehrsatz? Nie und nimmer.

air

03.03.2010, 18:49

lgrizu

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@air
dann gehen mir die ideen aus, wie man das sonst noch zeigen könnte.....
aber binomischer lehrsatz sollte doch aus der stochastik bekannt sein, pascalsches dreieck und so, kann man kennen......

03.03.2010, 18:56

Airblader

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Stimmt auch wieder.
Wenn man über die Definition geht muss man den Lehrsatz kennen, sonst ist man aufgeschmissen.

An die Stochastik habe ich nicht gedacht, wir hatten in der Schule keine, sorry. Augenzwinkern

air

03.03.2010, 19:10

WannaBeMathWhiz:D

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Stochastik ist bei uns erst in der 12 dran...

aber okay...also ich glaube ich werde eurem Ratschlaf folgen...

aber vielen Dank für die Hilfe smile

hat trotzdem was gebracht, ich weiß jetzt ein klein bisschen mehr Augenzwinkern

!!! Danke!!

03.03.2010, 19:13

lgrizu

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du kannst das soweit ich weiß nicht zeigen bzw. beweisen, ohne induktion zu kennen, dazu brauchts die produktregel, oder den binomischen lehrsatz.
aber frag bitte mal deinen lehrer, und wenn der einen anderen beweis kennt, dann poste ihn doch bitte hier, bin ich echt gespannt drauf.

du hast in diesem thread zwei vollständge beweise gesehen, mir fällt keine andere beweismethode ein, um das zu zeigen, bin aber offen für alles, also, aus neugier, bitte poste den beweis dann.

03.03.2010, 20:52

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Airblader
@ Igrizu

Ich will doch stark bezweifeln, dass ein Schüler der 11. Klasse

das Summenzeichen
den Binomialkoeffizienten
den Binomischen Lehrsatz

kennt.

Die ersten beiden Punkte liegen noch irgendwo im Bereich des Möglichen. Aber den binomischen Lehrsatz? Nie und nimmer.

air

Keine Ahnung was heute an den Schulen so getrieben wird aber zu meiner Zeit (vorm Kriech) wurde in der JGST 11 der binomische Lehrsatz mit vollst. Ind. bewiesen. Augenzwinkern

Um hier den Grenzwert des Differenzenquotienten zu ermitteln braucht man den binomischen Lehrsatz aber gar nicht:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^n-x_0^n}{x-x_0}=\sum_{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}x_0^k~\stackrel{x\to x_0}{\longrightarrow}~\sum_{k=0}^{n-1}x_0^{n-1}=nx^{n-1}. \end{eqnarray*}$

Die benötigte Identität:

$\begin{eqnarray*} a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)\sum_{k=0}^na^{n-k}b^k \end{eqnarray*}$

zeigt man durch eine direkte Rechnung.

03.03.2010, 21:02

Airblader

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@ Kühlkiste

Wie ich dich um diese Zeiten beneide!
In "meiner" Schulzeit haben 97% der Schüler abgeschaltet, wenn sie nur ein Summenzeichen sehen. Darin auch noch soetwas wie das Produkt von Potenzen?

TILT

air

04.03.2010, 10:36

lgrizu

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@kühlkiste

sehr schön, stimmt, die definition benutzen und x gegen x_0 laufen lassen, wirklich gut, und so einfach......
manchmal kommt man auf das einfachste nicht.......

04.03.2010, 15:46

Mystic

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Zitat:

Original von lgrizu
@kühlkiste

sehr schön, stimmt, die definition benutzen und x gegen x_0 laufen lassen, wirklich gut, und so einfach......
manchmal kommt man auf das einfachste nicht.......

Da muss ich jetzt ausnahmsweise auch was dazu sagen, da offensichtlich ist, dass du die Dinge in einem völlig falschen Licht siehst... Dein Fehler, der hier ja auch zu Recht kritisiert wurde, war im Grunde nur, dass du zur Berechnung von $\begin{eqnarray*} (x+h)^n \end{eqnarray*}$ den binomischen Lehrsatz verwendet und damit bildlich gesprochen "mit Kanonen auf Spatzen geschossen" hast... Insbesondere bedingt seine Verwendung einen irren "overflow of information"...Tatsächlich wird ja nur die einfache Darstellung

$\begin{eqnarray*} (x+h)^n = x^n+nx^{n-1}h+ (...)h^2 \end{eqnarray*}$

benötigt, welche man aber schon durch "naives Ausmultiplizieren" von

$\begin{eqnarray*} (x+h)^n=\underbrace{(x+h)(x+h) \ldots (x+h)}_{\text{n mal}} \end{eqnarray*}$

gewinnen kann... Nach dieser kleinen "Begradigung" braucht sich also dein Ansatz in keiner Weise zu "verstecken" und ist in meinen Augen gleichwertig zu Kühlkistes Lösung... Augenzwinkern

13.01.2011, 21:08

schweizerkäse

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hallo (:

beschäftige mich gerade mit dersleben aufgabe, mich interesseiert allerdings der bewis mit dem differnezenquotienten, aber ich hab keine idee wie ich $\begin{eqnarray*} \frac{x^{n}-x_{0} ^{n} }{x-x_{0}} \end{eqnarray*}$ zu n $\begin{eqnarray*} x^{n-1} \end{eqnarray*}$ umformen soll ..

13.01.2011, 21:10

schweizerkäse

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könnte jemand nochmla erklären wie man das mit dem diffquotienten zeigt ?

also wie kommt man von $\begin{eqnarray*} \frac{x^{n}-x_{0} ^{n} }{x-x_{0}} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} nx^{n-1} \end{eqnarray*}$ ??

13.01.2011, 21:19

lgrizu

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Hier stehen doch zwei oder drei Möglichkeiten in diesem Thread, welche hast du dir ausgesucht, was verstehst du genau nicht?

13.01.2011, 21:23

schweizerkäse

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naja ich wollte den differenzenquotienten benutzen
das bedeutet ja ihc muss ziuegen, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{0}} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{x^{n}-x_{0} ^{n} }{x-x_{0}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} nx^{n-1} \end{eqnarray*}$

aber ich kann den weg dahin nicht verstehen, also vielleicht könntest du mir die zwischenschritte nocheinmal erläutern das wäre nett

13.01.2011, 22:05

lgrizu

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Zitat:

Original von Kühlkiste

$\begin{eqnarray*} \frac{x^n-x_0^n}{x-x_0}=\sum_{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}x_0^k~\stackrel{x\to x_0}{\longrightarrow}~\sum_{k=0}^{n-1}x_0^{n-1}=nx^{n-1}. \end{eqnarray*}$

Die benötigte Identität:

$\begin{eqnarray*} a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)\sum_{k=0}^na^{n-k}b^k \end{eqnarray*}$

Hier steht doch alles, was genau bzw. welchen Schritt verstehst du denn nicht?

Ich würde dir ja gerne helfen, aber ich werde jetzt nicht den gesamten Thread anhand von Zitaten für dich wiederholen.

13.01.2011, 23:45

schweizerkäse

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das sollst du auch nicht, aber vielleicht noch einmal in anderen worten denn so habe ich es nicht verstanden

wieso ist denn $\begin{eqnarray*} \frac{x^n-x_0^n}{x-x_0}=\sum_{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}x_0^k \end{eqnarray*}$ ?? das ist mir unklar

14.01.2011, 09:03

lgrizu

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Das kann man mit Polynomdivision nachrechnen:

$\begin{eqnarray*} (a^n-b^n) : (a-b) = a^{n-1} + a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+.....+b^{n-1} \end{eqnarray*}$

Oder man multipliziert, um das zu verifizieren einfach $\begin{eqnarray*} (a-b) \cdot \sum_{k=0}^na^{n-k}b^k= a \cdot \sum_{k=0}^na^{n-k}b^k - b \cdot \sum_{k=0}^na^{n-k}b^k=\sum_{k=0}^na^{n+1-k}b^k - \sum_{k=0}^na^{n-k}b^{k+1}=(a^{n+1}-b^{n+1}) \end{eqnarray*}$ aus.

29.04.2011, 18:46

Fabienne90

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Ich habe mir ebenfalls auf der Suche nach dem Beweis von f(x) = x^n --> f'(x) = nx^(n-1). Leider habe ich aber den Lösungsweg den ich suche nicht gefunden.

In meinem Mathebuch habe ich dazu folgenden Ansatz gefunden, welchen ich aber nicht mehr nachvollziehen kann und deshalb vermute das sich einige Fehler eingeschlichen haben oder ich Zwischenschritte vergessen hab.

$\begin{eqnarray*} f(x+\delta x) = (x+\delta x)^n = x^n+nx^{n-1} \delta x+\frac{n}{2} x^{n-2}\delta x^2+...+\delta x^n<br /> ,\lim_{\delta x \to 0} (x^n+nx^{n-1}\delta x+ ... +\delta x^{n} -\delta x^{n}) <br /> =\lim_{\delta x \to 0} (nx^{n-1}+ z)<br /> ,z = 0<br /> --> f'(x) = nx^{n-1} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe das hat geklappt mit der Darstellung. (und sonst sorry war mein erster Versuch Augenzwinkern

)

01.05.2011, 20:22

lgrizu

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Du hast in einen Thread geschrieben, der 60 Beiträge hat und der letzte Eintrag ein viertel Jahr alt ist.

Es muss schon jemand "zufällig" über den Thread stolpern, die Chancen auf eine zeitnahe Antwort sind nahezu null.

Eröffne bitte dann einen neuen Post.

In diesem Thread stehen mehrere mögliche Beweise, und das einfachste wird sein, über die Definition der Ableitung zu gehen.

Ich kann auch nich erkennen, was du gemacht hast bzw. machen möchtest, es ist doch:

$\begin{eqnarray*} f(x + \delta x)=(x + \delta x)^n= \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix} \cdot x^k \cdot (\delta x)^{n-k} \end{eqnarray*}$ , da haben sich offenkundig einige Fehler eingeschlichen.

Die Beweisidee bleibt mir irgendwie auch verborgen.

14.07.2012, 16:40

ArthurUsing

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Beweis von Airblader
Guten Tag,

bei meiner Suche nach einem Beweis für die des Öfteren genannte Formel <math>\left( f(x)=x^n \rightarrow f'(x)=nx^(n-1)\right)</math> bin ich auf diese Seite gestoßen.

Der Beweis von Airblader ist leider nicht korrekt, da der oben genannte Zusammenhang zwischen f(x) und f'(x) in dem Beweis verwendet wird, weshalb sein Beweis falsifiziert ist.

MfG

Arthur Using

14.07.2012, 16:50

Iorek

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Du beziehst dich auf Beweis Ableitung von f(x)=x^n? Der Beweis ist nach dem Prinzip der vollständigen Induktion korrekt, höchstens die fehlende IV könnte man bemängeln.

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