laplace-Würfel

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Aureoli Auf diesen Beitrag antworten »
laplace-Würfel
Liebe Mitglieder_innen des Mathe-Bords:
Vor Jahren hat jemand diese Frage gestellt:
"Im Mittelalter hat man Ausgänge von Zufallsversuchen als "Gottesurteile" betrachtet. Ein Lehrer lässt sich hiervon zur Ermittlung der Noten durch Würfeln anregen. Er wirft 3 Laplace - Würfel und nimmt die kleinste auftretende Augenzahl als Note.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man die Noten 1 bis 6?

Ich hoffe ihr könnt mir helfen!"

Die folgende Antwort dazu habe ich leider nicht verstanden (über die Wahrscheinlichkeit, dass bei dreimaligem Würfeln eine 1 gewürfelt wird):
"Falls beim ersten Wurf eine 1 gefallen, dann ist es egal was dann noch passiert (p=1/6). Fällt keine 1 (p=5/6), so kann beim zweiten Wurf eine 1 fallen (p=1/6), falls immer noch nicht (p=5/6 * 5/6), so muss beim dritten Wurf eine 1 fallen (p=1/6). Macht zusammen: P(1) = 1/6 + 5/6 * 1/6 + 5/6 *5/6 * 1/6"

Wie erklärt sich z.B., dass beim ersten Würfeln die Wahrscheinlichkeiten für für das Eintreten von "1" und das Eintreten von "nicht 1" addiert werden? 1/6 + 5/6 ergibt 1, so dass "1" und "nicht 1" mit auf jeden Fall eintritt - Was habe ich damit gewonnnen?
Ich glaube, dass ich eine genauere Erläuterungen der jeweiligen Schritte gebrauchen könnte - denn sie sind für mich nicht selbstevident.

Ganz herzliche Grüße
Aureoli
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn (mindestens) eine Eins fallen soll, gibt es die drei von dir genannten Fälle: Sofort eine Eins, beim zweiten Mal eine Eins, beim dritten Mal eine Eins.



Du untersuchst, wie viele Möglichkeiten es gibt, zu deinem Ausgang zu kommen (hier wie gesagt 3) und addierst die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Fälle.
 
 
ObiWanKenobi Auf diesen Beitrag antworten »

Die fast gleiche Frage habe ich gestern im Thread "4. Semester beantwortet:

"Ein Lehrer wirft dreimal einen Spielwuerfel.Die niedrigste Augenzahl verwendet er als Note"

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit fuer die Note 1?

Totale Wahrscheinlichkeit bedeutet P(A) + P(nicht A) =1
oder daraus folgend P(A) = 1 - P(nicht A)

P von keine 1 in 3 Würfen ist: (5/6)^3 = 0,5787 = 57,8 %

==> P(Note 1) = 1 - 0,578 = 0,422 = 42,2%


P (Note 6) = (1/6)^3 = 1/216 = 0,0046 = 0,46 %


P (Note 5) = P(Note 5 oder Note 6) - P (Note 6) = (2/6)^3 -1/216 =
1/27 - 1/216 = 0,032 = 3,2 %

P (Note 4) = P (Note 4 oder Note 5 oder Note 6) - P (Note 5 oder Note 6) =

(3/6)^3 - (2/6)^3 = (1/2)^3 - (1/3)^3 = 1/8 - 1/27 = 0,088 = 8,8 %

P (Note 3) = P(Noten 3; 4; 5; 6) - P (Noten 4; 5; 6) =
(4/6)^3 - (3/6)^3 = (2/3)^3 - (1/2)^3 = 8/27 - 1/8 = 0,171 = 17,1 %

P (Note 2) = P(Noten 2; 3; 4; 5; 6) - P (Noten 3; 4; 5; 6) =
(5/6)^3 - (2/3)^3 = 125/216 - 8/27 = 0,282 = 28,2 %

0,5 % + 3,2 % + 8,8 % + 17,1 % + 28,2 % + 42,2 % = 100 %

Genauigkeitsfanatiker können natürlich alle genannten Brüche auf 216tel erweitern.
Und siehe da die Summe aller P = 216/216 = 1
Aureoli Auf diesen Beitrag antworten »

Ersteinmal vielen Dank für beide Antworten.
Zu beiden habe ich noch eine Frage:
zu Antwort 1:
Warum ist es bei Fall zwei so, dass 5/6 mit 1/6 multipliziert werden muss?
Es gibt ja z.B. die Erklärung "Ereigniswahrscheinlichkeiten unabhängiger Experimente sind multiplikativ; z.B. zwei mal hintereinander eine 6: 1/6*1/6 = 1/36.
Wie lautet hier die allgemeine Erklärung? Ich kann diesen Schritt (5/6*1/6) und auch den nächsten (5/6 *5/6 * 1/6) mir nicht begründen oder erklären.

zu Antwort 2:
mein Nicht-Verstehen will ich am Beispiel der "Note 3" demonstrieren:
P (Note 3) = P(Noten 3; 4; 5; 6) - P (Noten 4; 5; 6)
Ist P (Noten 3; 4; 5; 6) das Äquivalent zu 1, also der absoluten Wahrscheinlichkeit, von der dann die Wahrscheinlichkeit des Nicht-Eintretens subtrahiert wird, also P (Noten 4; 5; 6)?

In Bezug auf beide Fälle will ich noch fragen:
Wird bei der zweiten Antwort von der Reihenfolge des Würfelns (Fall 1 - Fall 2 - Fall 3) abgesehen und bei der ersten hingegen wird sich orientiert am Modell des Nacheinander-Würfelns? Letzteres finde ich schwerer nachvollziehbar, weil ich mir nicht erklären kann, wie der Tatsache Rechnung getragen wird, dass die Fälle sich untereinander tangieren...

Lieben Gruß

Aureoli
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 1.
Vielleicht verwechselst du zwei Sachen: Die beiden Ereignisse sind vom Inhalt her betrachtet natürlich in gewisser Nähe zueinander, schon rein sprachlich, und deshalb sprachlich beurteilt keineswegs «unabhängig» (wobei hier das Wort ausdrücklich nicht den mathematischen Sinn hat). Dass aber das Ergebnis eines Würfelwurfes nicht beeinflusst wird durch das Ergebnis eines anderen Wurfes (ob vorher, nachher oder gleichzeitig), ist doch unbestritten, ganz egal, wieviel das Ereignis mit dem andern zu tun oder eben nicht zu tun hat.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 2.
Z sei das Ereignis, wo jede Wurfzahl Zwei übertrifft,
D sei das Ereignis, wo jede Wurfzahl Drei übertrifft,
M sei das Ereignis, wo die minimale Wurfzahl Drei ist.

Dann gilt:

M und D sind komplementäre Teilmengen bezüglich Z.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Deine letzte Frage zu 1. und 2. zielt auf die Reihenfolge und deren Berücksichtigung.

Ich vermute, dass du auch hier zwei Dinge verwechselst. Soweit ich die obigen Rechnungen gesehen habe, wurde «dreistufig» vorgegangen (3 W'keiten wurden multipliziert). Ginge man «einstufig» vor, dann müsste man kombinatorisch alle Wurfbilder die möglich, und alle, die günstig sind, zählen. Nur bei dieser Vorgehensweise unter Einsatz von KOMBINATORIK stellt sich allenfalls die Frage des Berücksichtigens der Reihenfolge.
Aureoli Auf diesen Beitrag antworten »

zu 1:
ich meine: wie trage ich der Tatsache Rechnung, dass nicht einfach 1/6+1/6+1/6 gerechnet wird? Wie also lautet die Begründung, dass im zweiten Fall die Wahrscheinlichkeit 1/6 mit 5/6 multipliziert werden muss?

zu 2:
das muss ich erst verdauen...
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Die Addition der W'keiten braucht man beim disjunkten Vereinigen von Ereignissen: Entweder-oder-oder ...
Die Multiplikation der W'keiten braucht man bei der Schnittmenge unabhängiger Ereignisse: Und-und- ...
(Populär: In Baumdiagrammen multipliziert man längs der Aeste und addiert verschiedene Ast-w'keiten.)
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