sin(1/x)

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Manuel20 Auf diesen Beitrag antworten »
sin(1/x)
Noch eine Frage zu Sprungstetigkeiten:

Ist f für f: [0,1] --> IR sprungstetig?

[attach]13735[/attach]

Meine Antwort waere nein, da die Funktion zwischen 0 und 1 oszilliert und deswegen nicht sprungstetig sein kann.
Reicht dies als Argumentation bzw. ist sie ueberhaupt richtig?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Was genau bedeutet denn sprungstetig? Dass links und rechtsseitiger Grenzwert jeweils existieren (aber nicht gleich sein müssen)?

Dann wäre deine Antwort korrekt.
Manuel20 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir benutzen dieselbe Definition, wie sie auch hier zu finden ist:
de.wikipedia.org/wiki/Sprungstetigkeit

Die beiden Grenzwerte müssen auf alle Fälle exisiteren. Von gleich sein oder eben nicht habe ich bis jetzt eben noch nichts gelesen.. unglücklich
..oder kann man die Unstetigkeit mit dem Argument der Existenz von Unstetigkeitsstellen "zweiter Art" begründen?

Herzlichen Dank für die Hilfe!
Manuel20 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine sprungstetige Funktion nennt man auch Regelfunktion - eventuell ist der Begriff geläufiger.
Zurück zur Aufgabe: Reicht hier meine Argumentation wegen der Oszillation? Was / wie wäre das sonst noch zu zeigen, dass dieses f nicht sprungstetig ist?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Antwort ist korrekt. Sie wäre sprungstetig in Null, wenn der Grenzwert für existierte.
Natürlich musst du dann noch ein bischen begründen, wieso mit nicht existiert.
Manuel20 Auf diesen Beitrag antworten »

Das würde ich wie folgt begründen:

f stetig in x_0 <--> lim x --> +/- 0 = f(0) = x
da |sin x| <= 1 existiert der Grenzwert von lim x --> +/- 0 nicht:
Dazu substituiere ich y = 1/x

lim 1/x = +/-oo (für x gegeb +/- 0).

lim sin y existiert nicht (für y gegen +/- oo).
 
 
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Argumentation kann ich nicht nachvollziehen. Was dort zu suchen?
Du willst doch bloss begründen, wieso der Grenzwert nicht existiert.
Nun OK, um für zu untersuchen reicht es, wie du schon richtig sagst wegen einer Substitution, den Grenzwert zu untersuchen.

Dann stellt sich allerdings die Frage, wieso ebendieser zweite Grenzwert nicht existiert Augenzwinkern .
Entweder wurde das in der Vorlesung gezeigt, oder du musst es selbst begründen.
Dazu:
Angenommen er existiert. Dann muss für jede Folge mit für immer
existieren und gleich sein [nach der Definition eines Grenzwertes eines Funktion].
Was passiert aber mit

und
?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde die Folge



besser, weil es nur eine einzige ist. Augenzwinkern
Manuel20 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Folge a_n (von WebFritzi) ist dann undefiniert, sprich existiert nicht.

Genauso wie die Folgen a_n und b_n von system-agent.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Warum sollte die Folge denn nicht existieren verwirrt

air
Manuel20 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, nicht die Folge natürlich, sondern deren Grenzwerte!
Mein Fehler, tut mir leid!
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz im Gegenteil:
Alle Grenzwerte oder existieren.
Aber die von mir zitierte Definition verlangt, dass alle diese auch gleich sind. Ist das hier so?
Manuel20 Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann doch nicht sein..
Also ich glaube euch schon, dass der Grenzwert existiert, aber wenn ich folgendes in meinen Rechner eingebe:
limes(sin(a_n),n,oo) dann folgt: undef
(für a_n habe ich natürlich die entsprechende Folge eingegeben)

..woran könnte das liegen?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du die Folge von WebFritzi genommen hast, dann kann es sein. Diese "hüpft" immer zwischen zwei Werten. Meine beiden Folgen sind jeweils konstant aber mit verschiedenen Zahlen.

Ich dachte du hattest die Folgen gemeint die ich angegeben habe, denn dann existieren beide Grenzwerte [da es konstante Folgen sind].
Manuel20 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hats Recht!
Deine Folgen existieren, sind aber nicht gleich - das heisst also, die Bedingung von unserem eigentlichen Problem wird nicht erfüllt - sprich der zweite Grenzwert existiert also wirklich nicht.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Die Folgen existieren immer. Du meinst die Grenzwerte existieren.
Manuel20 Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich smile
(schon wieder habe ich den falschen Begriff verwendet)
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