Lineares Optimierungsproblem

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funky1985 Auf diesen Beitrag antworten »
Lineares Optimierungsproblem
Hallo miteinander,

zur Zeit haben wir das Thema LO bzw Simplex Verfahren und ich grübel schon seit gestern an einer Aufgabe wo ich nur das LO formulieren muss, und zwar lautet diese so:

Ein Reiseunternehmen plant eine kombinierte Bahn-Schiffsreise, die mindestens 200 Stunden dauern
soll. Der Reisepreis soll aus Vertriebsgründen einen Betrag von 900 EUR nicht übersteigen.
Es wird mit folgenden mittleren Reisegeschwindigkeiten bzw. Fahrpreisen kalkuliert:
Bahn: Geschwindigkeit: 60 km/h, Fahrpreis: 0,12 EUR/km
Schiff: Geschwindigkeit: 10 km/h, Fahrpreis: 0,18 EUR/km
(Dabei sei unterstellt, dass sich die Kalkulation ausschließlich auf die Verkehrsmittel bezieht und
Zeiten im Hotel sowie die daraus resultierenden Kosten unberücksichtigt bleiben.)
Die Reisestrecke soll so in Bahn- und Schiffskilometer aufgeteilt werden, dass sie möglichst groß
wird.


Als Ansatz dachte ich mir folgendes:

Die gesuchten Größen sind:

x1 = Gesamte Anzahl der Kilometer der Bahn.
x2 = Gesamte Anzahl der Kilometer des Schiffes.

Als Zielfunktion:



Nebenbedinung:

<=>

so meine Fragen, bis jetzt sind ob dies richtig ist und wie ich mit den 200 Stunden das händeln soll ich komme auf kein vernünfitges Ergebnis.

Hatte bis jetzt:



nur gehe ich davon aus das dies falsch sei da ich das x1 und x2 da anders nutzen würde, eine weitere überlegung wäre es gewesen noch zwei variablen nämlich x3 und x4 mit einzubringen für die Anzahl der Stunden... nur bin ich mir da nicht sicher und würde da gerne Experten befragen.

Ich hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen smile

Mit freundlichem Gruß

funky1985
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Hi funky,

Was soll denn dieses sein? Mit der Zielfunktion kann ich nichts anfangen.
Außerdem sollst Du doch die Gesamtzahl der Kilometer maximieren, da haben die Kosten nichts zu suchen. Wie lässt sich denn die Gesamtzahl der Kilometer mit x1 und x2 ausdrücken?

Die erste Nebenbedingung ist dann allerdings richtig.
Die zweite Nebenbedingung ist hingegen quatsch, schau da lieber mal auf die Einheiten. Wenn Du nämlich mit multiplizierst, hat das Produkt die Einheit und das bringt Dir nichts.
Wie rechnest Du denn aus gegebener Kilometerzahl und Geschwindigkeit die zurückgelegte Strecke aus? Das ist Physik auf Schulniveau!

Gruß,
Reksilat.
funky1985 Auf diesen Beitrag antworten »

hmm

dann würde ich spontan sagen, dass :



das wäre der erste Gedanke der mir einfallen würde.


ich versteh deine Frage nicht ganz..

ich weiß das die Bahn 60 Kilometer in einer Stunde zurücklegt und das Schiff 10km in 1 stunde...

ich hatte auch mal gedachte beides auf 200h hochzurechnen die ja mindestens gefahren werden müssen

dann wäre x1 12000
und x2 2000

weil die 200 stunden müssen ja mindestens gefahren werden..

wobei ich eher glaube das ich da gewaltig auffem Schlauch stehe Big Laugh
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, ist die Nichtnegativitätsbedingung. Daraus folgt sowieso , aber das hilft bei der Zielfunktion nicht weiter.
Diese Zielfunktion hat doch zum Beispiel die Form , wobei ... eine lineare Funktion in den gesuchten Größen ist. Hast Du denn vorher noch nie ein Optimierungsproblem gesehen?

Zur zweiten Nebenbedingung:
Die Bahn fährt . Wie lange braucht dann die Bahn um die Strecke zurückzulegen?

Zitat:
ich versteh deine Frage nicht ganz..
Welche Frage?
funky1985 Auf diesen Beitrag antworten »

also in etwas wie:

???

sorry ich versteh das grade wirklich nicht ^^

also ich weiß wieviel km die Bahn bzw das Schiff nach 200h zurückgelegt haben..

und das mit dem ->max hatte ich noch nicht ich hatte bis jetzt nur Gewinnmaximierung und diese dann halt mit G= ... wobei das ... die x-Werte beinhaltet.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Beantworte doch bitte mal meine Frage. Ich stelle die schließlich nicht zum Spaß, sondern möchte Dich damit auf den richtigen Weg bringen:
Zitat:
Original von Reksilat
Zur zweiten Nebenbedingung:
Die Bahn fährt . Wie lange braucht dann die Bahn, um die Strecke zurückzulegen?

Und analog: Wie lange braucht das Schiff, um die Strecke zurückzulegen?
Diese beiden Zeiten zusammenaddiert müssen dann eben kleiner gleich 200 Stunden sein.

Zur Zielfunktion:
Ich weiß leider nicht, wie Ihr bisher die Zielfunktion aufgeschrieben habt und letztlich ist das auch nicht so bedeutsam. Jedenfalls ist keine Zielfunktion, sondern eine Ungleichung, bezeihungsweise eine Bedingung.
Wenn Ihr die Zielfunktion als geschrieben habt, dann solltest Du sie auch so angeben. Also: Was Du im ersten Post als Zielfunktion angegeben hast, war nicht richtig. Was fällt Dir denn sonst dazu ein? Eigentlich hast Du es in Deinem zweiten Post ja schon richtig gehabt, nur nicht als Zielfunktion aufgeschrieben. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.
 
 
funky1985 Auf diesen Beitrag antworten »

also wäre das dann:

?

beide zeiten zusammenaddiert kleiner gleich 200...

also das schiff brauch 1h für 10km also für eine bestimmte anzahl an stunden brauch es


10km * h kilometer..

die bahn 60km *h kilometer ?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von funky1985
also das schiff brauch 1h für 10km also für eine bestimmte anzahl an stunden brauch es
10km * h kilometer..

Ich verstehe nicht, was Du damit sagen willst. verwirrt

Testaufgabe:
Wie viele Stunden benötigt die Bahn (60km/h), um 400km zurückzulegen?

Das ist eine einfache Aufgabe, die jeder Abiturient lösen können sollte und vorher mache ich auch nicht weiter.
Anschließend kannst Du Dir auch überlegen, wie viele Stunden die Bahn für eine beliebige Strecke benötigt.
funky1985 Auf diesen Beitrag antworten »

in diesem falle wären das:

wenn er 400km fahren soll und 60km/h fährt schafft er die 400 km in 6h und ca. 36min
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Da frage ich mich echt, wie Du darauf gekommen bist. Woher kommt dieses "etwa 36 Minuten"? 400 geteilt durch 60 macht 6,666... Stunden, bzw. 6 Stunden und exakt 40 Minuten. Das kann man ausrechnen! unglücklich

Tut mir leid, aber ich breche hier ab. Ich schreibe bewusst nur in der Hochschulmathematik, da ich dann bei den Fragestellern gewisse Fähigkeiten voraussetzen kann. Ich habe nämlich keine Lust, plötzlich in einem Thread festzustecken, wo ich dem Fragesteller Stoff aus der achten Klasse erklären muss.

Ciao,
Reksilat.
funky1985 Auf diesen Beitrag antworten »

dann musst du mir erklären wie eine Periodenzahl eine exakte Minutenzahl darstellen kann sorry, nur versuche ich dem zu folgen was du mir hier schreibst und versuche mein bestes zu geben.. tut mir Leid, das es dann so gekommen ist...

aber nicht jeder kann 1++ in Mathe haben und auf alles jederzeit und sofort eine Antwort finden...

Ich versuch mich halt mehr zu bemühen nur wenn der groschen einmal gefallen ist hab ich es ja verstanden...


gruß funky 1985
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist natürlich sehr paradox dieses Bruchrechnen Big Laugh

400 = 360 + 40 = 6*60 + 40
funky1985 Auf diesen Beitrag antworten »

ach ..argh

stimmt so rum hätte man das auch sehen können, gut das war wirklich einfachjettz weiß ich auch die reaktion zu schätzen und zu verstehen, tut mir Leid das ich mich so dumm angestellt habe unglücklich

können wir das denn bitte nicht nochmal versuchen?

Was ich nicht verstanden habe bei deiner Fragestellung war diese das ich nicht die Strecke gegeben habe sondern die Anzahl der Stunden die die beiden zusammen fahren müssen.

Dabei kann aber auch eins von beiden weniger als die Hälfte fahren zum Beispiel nur 50h aber das andere dafür umso länger. Darum verstand ich nciht so ganz was du mit der Fragestellung wie lange es für so und soviel kilometer brauch...

Die Aufgabe ist schon recht hart finde ich und so eine hatte ich bis jetzt noch nie gehabt nur die allseits belieten Aufgaben mit Gewinnmaximierung....

ic hoffe du verzeihst meine dummheit und versuchst es erneut :/

mfg


funky1985
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Na immerhin willst Du anscheinend noch weitermachen. Das begrüße ich. smile

Die zweite Nebenbedingung sagt ja aus, dass die Reise insgesamt mindestens 200 Stunden dauern soll. Dazu müssen wir eben wissen, wie lange man mit der Bahn und wie lange man mit dem Schiff unterwegs ist.
Leider hast Du Dich zu der von mir gestellten Frage:
Zitat:
Wie rechnest Du denn aus gegebener Kilometerzahl und Geschwindigkeit die zurückgelegte Strecke aus?
bzw.
Zitat:
Die Bahn fährt . Wie lange braucht dann die Bahn um die Strecke zurückzulegen?
nicht geäußert.

Da wir hier immer noch im Hochschulbereich sind, wird so was simples auch nicht vorgerechnet, aber hier ein paar Hinweise:
- Per Bahn wird die Strecke (Einheit: km) zurückgelegt
- Die Bahn hat eine Geschwindigkeit von 60 km/h
- Wie viele Stunden benötigt die Bahn nun, um einen Kilometer zurückzulegen? (Tipp: Ergebnis als Bruch angeben, die Einheit ist dann h/km)
- Wie viele Stunden benötigt die Bahn dann, um km zurückzulegen?

Wenn Du das hast, machst Du das gleiche mit dem Schiff und addierst beide Werte zusammen. Dann hast Du die Gesamtreisezeit.

Gruß,
Reksilat.
funky1985 Auf diesen Beitrag antworten »

gut gut, also

ich rechne das ma vorsichtig durch nicht das sich da wieder denkfehler einschleichen Big Laugh

also 60km/h fährt die Bahn das auf ein Kilmoeter runter also geteilt durch 60..

brauch die bahn 1 Minute also h/km

das Schiff fährt 10km/h also das ganze durch 10 geteilt Big Laugh

h/km ich hoffe soweit so richtig..

also +

ich hoffe das es diesmal soweit richtig ist Gott


funky1985
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja, kann man noch kürzen und + ist nur ein Ausdruck und noch keine fertige Nebenbedingung. Aber ansonsten bist Du auf dem richtigen Weg. smile

Hast Du denn jetzt auch die Zielfunktion gefunden?

Gruß,
Reksilat.
funky1985 Auf diesen Beitrag antworten »

also du hattest mal gesagt das diese beiden Zeiten zusammen addiert kleienr gleich 200 stunden sein müssen, also denke ich das es das heir sein wird

+

wobei ich mich nun Frage ob dies richtig sei weil die 200 Stunden mindestens gefahren werden müssen

und dann würde ich sagen das wir das ganze negativieren

also:

- -

weil wenn wir das positiv belassen würde es doch heissen das die maximal 200 stunden fahren sollen oder?

und zur maximierung habe ich noch nichts raus

werde das aber sofort machen wenn die nebenbedingung richtig ist.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Habe mich oben in einem der Beiträge wohl verschrieben, sorry! - Klar, die 200 Stunden müssen mindestens gefahren werden und somit lautet die die Nebenbedingung:
funky1985 Auf diesen Beitrag antworten »

aaaah ok alles klar Big Laugh

ja ok stimmt, möp mein besagtes brett :/ gut sorry , aber müsste diese dann nicht in ein maxiumproblem umgewandelt werden ?



um halt dann die Schlupfvariablen einzufügen?

um zur Zielfunktion, also ich probiere es mal

x_1 und x_2 müssen maximiert werden

also , gut dabei fehlen bestimmt noch werte weil ohne weiteres kann ich die bestimmt nicht stehen lassen ^^

nur mit dem Max hatte ich noch nie da wir immer den maximalen Gewinnberechnen sollten :/ und das haben wir dann mit G=... gemacht.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Die Schlupfvariablen kannst Du doch auch so einführen:
,
Kannst es natürlich auch erst umformulieren, aber das ist eigentlich nicht unbedingt nötig, da Du ja das Problem ja eh auf die Simplex-Form bringen willst.
Ändert auch nichts am Verfahren.

Und die Zielfunktion ist dann , da ja eben die Gesamtstrecke, also die Summe der Einzelstrecken, maximiert werden soll.
Und ob man nun den Gewinn oder irgendeine Kilometerzahl maximieren soll, ist letztlich egal. Augenzwinkern
funky1985 Auf diesen Beitrag antworten »

ah wunderbar, dann lag ich doch nicht ganz sooo falsch ^^,

ok danek dir vielmals für deine Zeit und vor allem Geduld und ich entschuldige mich nochmal für den Fehltritt meinerseits, der nicht hätte sein müssen unglücklich

Auf jedenfall nochmal vielen vielen dank smile
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