Integral

03.03.2010, 15:00

RolandLee

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Integral

Hallo!

Ich soll das Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \frac{[nx^2]}{n^2} \, dx \end{eqnarray*}$ berechnen, und komme nicht viel weiter als bis zu meinem Ansatz, der wie folgt aussieht:

Ich wähle eine Partition 0 = x_0 kleiner als x_i (i=1,2,..., k) kleiner gleich x_(k+1) kleiner gleich 1. Dann wollte ich das Integral als Summe aufschreiben, um dann zu schauen, ob etwas substituierbar ist (was es in meinem Fall dann hoffentlich ist..), damit ich schlussendlich den Limes, und damit das Integral berechnen könnte.
Von meinem "Plan" her klingts eigentlich nicht schlecht - die Ausführung happert bis jetzt aber noch ein wenig...

03.03.2010, 15:15

Mazze

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Kannst Du die eckigen Klammern mal erklären? So wie ich das interpretiere ist das Integral äußerst trivial, aber auch nur wenn die eckigen Klammern wirklich einfach nur eckige Klammern sind. Falls die was anderes bedeuten (etwa Rundung o.ä.) wäre das natürlich anders.

03.03.2010, 15:16

giles

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Ist das die Floor-Funktion oder die Rundungsfunktion? Irgendwie benutzt das jeder anders -.-

03.03.2010, 15:21

wisili

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RE: Integral
Hat die Originalaufgabe wirklich den Parameter n?
Was bedeuten die eckigen Klammern?
Soll man deinem Text entnehmen, dass du keine Integrationsregeln anwenden willst? Oder doch (Substitution)? Oder den Limes einer Folge von Riemannnschen Summen berechnen willst?
Edit: zu spät.

03.03.2010, 20:43

RolandLee

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RE: Integral
Hallo zusammen!
Besten Dank, dass ihr mir helfen wollt! =)

Also, [] bezeichnet die Gaussklammer, das heisst für ein x in IR: $\begin{eqnarray*} [x]:= max{k \in mathbb Z; k \leq x} \end{eqnarray*}$
Das Integral soll dann für ein n aus IN ohne 0 (jaa..die Aufgabe steht schon richtig da) berechnet werden..
Wie kommst du auf keine Integrationsregeln? ..Substitution ist ja nur eine "Hilfe" - die Regeln wendet man dann ja trotzdem an..

Vielen Dank nochmals für Eure Hilfe!

03.03.2010, 20:45

RolandLee

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RE: Integral
$\begin{eqnarray*} x:= max \{ k \in \mathbb Z; k \leq x \} \end{eqnarray*}$

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04.03.2010, 09:28

Mazze

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Das Integral aufzuteilen sollte klappen. Es ist $\begin{eqnarray*} x^2 \in [0,1] \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in [0,1] \end{eqnarray*}$ , weiterhin ist $\begin{eqnarray*} nx^2 \in [0,n] \end{eqnarray*}$ . Das Integral kannst Du dann aufteilen in n Abschnitte auf denen $\begin{eqnarray*} \lfloor nx^2 \rfloor \in \{0,1,...,n-1\} \end{eqnarray*}$ . Der Wert n wird nur im Punkt 1 angenommen, also für den Wert des Integrals nicht wichtig. Die Hauptarbeit dürfte aber die Bestimmung der Grenzen (abhängig von n) sein.

06.03.2010, 15:55

RolandLee

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Hmm..kann man das nicht wie folgt machen?

$\begin{eqnarray*} f_n{(x_{j-1}, x_j}) = \frac{j-1}{n^2} , 0 \leq j \leq k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} I(f_n) = \sum\limits_{j=1}^k \frac{j-1}{n^2} \cdot \frac{1}{n^2} + \frac{k}{n^2} (1-\frac{[1n]}{n} ) \end{eqnarray*}$

06.03.2010, 17:39

Mazze

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Ehrlich gesagt versteh ich da gerade nicht was Du machst. Das n² im Zähler würde ich aber sowieso erstmal aus dem Integral rausziehen, und ganz am Ende mitnehmen. Es steckt ja nicht in der Gaussklammer drin.

06.03.2010, 20:32

RolandLee

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Ja richtig..eigentlich habe ich das zuerst probiert, das Integral ohne die n^2 im Nenner (du meinst Nenner, oder?) zu schreiben, doch das funktionierte bei mir irgendwie nicht :S
Wie sähe dann der "Anfang" aus?

06.03.2010, 23:00

WebFritzi

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RE: Integral
Ich weiß nicht, was du dich so anstellst.

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \frac{\lfloor nx^2\rfloor}{n^2} \, dx = \frac1 {n^2}\int_0^1\,\lfloor nx^2\rfloor\,dx = \frac 1 {n^2}\left( \int_{a_0=0}^{a_1}\,\lfloor nx^2\rfloor\,dx + \int_{a_1}^{a_2}\,\lfloor nx^2\rfloor\,dx + \dots + \int_{a_{n-1}}^{a_{n}=1}\,\lfloor nx^2\rfloor\,dx \right), \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \lfloor nx^2\rfloor = k \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [a_k,a_{k+1}). \end{eqnarray*}$ Also

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \frac{\lfloor nx^2\rfloor}{n^2}\,dx &=& \frac 1 {n^2}\left( \int_{a_0=0}^{a_1}\,0\,dx + \int_{a_1}^{a_2}\,1\,dx + \dots + \int_{a_{n-1}}^{a_{n}=1}\,(n-1)\,dx \right),\\ &=& \frac 1 {n^2}\big( (a_2 - a_1) + 2(a_3 - a_2) + \dots + (n-1)(1 - a_{n-1}) \big). \end{eqnarray*}$

Deine Aufgabe ist es jetzt nur noch, die Zahlen $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ zu berechnen.

07.03.2010, 10:44

Leopold

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Eine kleine Variante zu WebFritzis Vorschlag.
Wenn du die Substitutionsregel schon verwenden darfst, kannst du mit $\begin{eqnarray*} t = nx^2 \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt{\frac{t}{n}} \, , \ \ \dd x = \frac{\dd t}{2 \sqrt{nt}} \end{eqnarray*}$

das Integral transformieren:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \frac{\left[ nx^2 \right]}{n^2}~\dd x = \frac{1}{n^{\frac{5}{2}}} \int_0^n \frac{[t]}{2 \sqrt{t}}~\dd t \end{eqnarray*}$

Es ist wohl klar, wie das Intervall $\begin{eqnarray*} [0,n] \end{eqnarray*}$ jetzt zu zerlegen ist. Die Substitutionsregel übernimmt es sozusagen für dich, die $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ aus WebFritzis Ansatz zu berechnen. Dafür hast du einen leicht komplizierteren Integranden (keine stückweise Konstanz mehr). Na ja, was den Aufwand angeht, bleibt sich's wohl gleich ...

07.03.2010, 14:58

RolandLee

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Vielen Dank euch beiden!

Jetzt ist - bis auf zwei Fragen - alles klar! smile

smile

Die erste Frage wäre, wie du (Leopold) auf die (5/2) im Exponenten von n im Nenner kommst..das ist mir momentan noch ein wenig schleierhaft, sonst aber alles gut nachvollziehbar! smile

smile

Die zweite Frage wäre: Um Integrale (solche, oder ganz im Allgemeinen) berechnen zu können, braucht man schon Zugang zu einem Rechner, oder?

08.03.2010, 12:48

RolandLee

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Zudem haette ich eine Frage zu folgendem Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! sign x \, dx \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis dieses Integrals ist ja [latex] | b-a| [/atex]

..aber wie kommt man auf dieses Ergebnis?

08.03.2010, 12:53

klarsoweit

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Zitat:

Original von RolandLee
Das Ergebnis dieses Integrals ist ja $\begin{eqnarray*} | b-a| \end{eqnarray*}$

So?

verwirrt

Auch für $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1 \! sign(x) \, dx \end{eqnarray*}$ ?

Die Berechnung des Integrals ist als solches nicht sonderlich schwierig. Du mußt nur wissen, was sign(x) ist.

08.03.2010, 13:56

Leopold

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Zitat:

Original von RolandLee
Das Ergebnis dieses Integrals ist ja $\begin{eqnarray*} | b-a| \end{eqnarray*}$

Nur die Betragsstriche stehen falsch.

08.03.2010, 19:34

RolandLee

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Was die signum-Funktion ist, ist mir schon bekannt
( de.wikipedia.org/wiki/Signum_(Mathematik) )

Meine Frage ist nur, wie man auf dieses Integral kommt, bzw. wie die Partitionen (falls man das überhaupt so machen würde) ausshen..

@Leopold:
Wie meinst du das, dass die Betragsstriche falsch stehen?

09.03.2010, 07:36

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \int_a^b \operatorname{sgn}(x)~\dd x = |b| - |a| \end{eqnarray*}$

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