Matrix des Endomorphismus

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eisley Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix des Endomorphismus
hallo zusammen!

zuerst die Aufgabenstellung:

Sei V der Vektorraum der reellen, symmetrischen 2x2-Matrizen , und sei .

Man bestimme die Matrix des Endomorphismus von V, der durch die Zuordnung definiert wird, bezüglich einer geeigneten Basis.


ich befürchte, ich neige gerade dazu, die Aufgabe als viel komplizierter anzusehen, als sie eigentlich ist.
wenn ich unseren Prof in der Vorlesung richtig verstanden hab, ist es hier unwichtig, wie die Basis lautet, d.h. ich muss mich hier nicht explizit um eine Basis kümmern..

A beschreibt ja bereits einen Endomorphismus des Vektorraums einer bestimmten Basis. sollte ich nun alle anderen Matrizen A' noch aufzeigen, die den Endomorphismus bezüglich anderer Basen darstellen?

sprich: , wobei P beliebig ist?

ich kriegs grad gar nicht mehr hin.

vielen Dank für die Hilfe!
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich musst du dich um eine Basis kümmern, sonst macht eine Abbildungsmatrix keinen Sinn.

Welche Basis kennst du den von deinem VR V? (Hint: V ist 3-dimensional)
eisley Auf diesen Beitrag antworten »

wenn das legal ist, würde ich jetz die kanonische Basis nehmen. Augenzwinkern
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Und was ist hier die kanonische Basis?
eisley Auf diesen Beitrag antworten »



mit den Basisvektoren als Spalten.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist keine Basis. Die Spaltenvektoren sind nämlich Koordinatenvektoren bezüglich einer Basis. Und diese Basis musst du gerade bestimmen.

Du musst also 3 Matrizen angeben die V erzeugen
 
 
eisley Auf diesen Beitrag antworten »

achso. langsam dämmerts. smile
danke für den hint! ich werde es so noch einmal versuchen mit der theorie und ansonsten noch einmal nachfragen.

merci!
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest deinen Prof (bzw. deinen Übungsleiter) etwas in Staunen versetzen, wenn du die folgende Basis verwendest:



Augenzwinkern

Wenn du wirklich Übung bekommen möchtest in Abbildungsmatrizen, dann solltest du beide Basen einmal durchprobieren - die Standardbasis und die obige.
Manus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Du könntest deinen Prof (bzw. deinen Übungsleiter) etwas in Staunen versetzen, wenn du die folgende Basis verwendest:



Augenzwinkern

Wenn du wirklich Übung bekommen möchtest in Abbildungsmatrizen, dann solltest du beide Basen einmal durchprobieren - die Standardbasis und die obige.



Das ist bloß leider keine Basis des angegebenen Vektorraums.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ach menno... Hab mal wieder nicht ordentlich gelesen. Dann meine ich eben die Basis



Augenzwinkern
eisley Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe die Aufgabe einmal beiseite gelegt und sie heute Nachmittag noch einmal in Angriff genommen.
aber irgendwie blick ich bei der Sache noch nicht ganz durch.

sprich ich hab keine Ahnung, wie das weitere Vorgehen aussehen soll. traurig


sollte ich hier verwenden, dass mit der Basis B und der gegebenen Matrix A gilt?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Hast Du denn jetzt wenigstens ein Basis gefunden? (Und ich meine nicht unbedingt die von WebFritzi, sondern eine etwas eingängigere, kanonische Basis.)
Dann erst kannst Du nämlich untersuchen, worauf die Basiselemente unter der oben beschriebenen Abbildung abgebildet werden.

Zitat:
sollte ich hier verwenden, dass mit der Basis B und der gegebenen Matrix A gilt?

Was soll f sein? Was ist BA? B ist ein Menge und A eine Matrix, wie willst Du das multiplizieren?

Gruß,
Reksilat.
eisley Auf diesen Beitrag antworten »

das hab ich auch nicht verstanden. war die Antwort des Assistenten, als ich heute morgen die Frage gestellt hab. :/ helfen konnte er mir weiters nicht.
die Aufgabe bringt mich noch ins Grab! haha

ich habe einmal etwas mit der Basis von WebFritzi wohl eher "experimentiert". aber ich steh noch immer auf dem Schlauch, was das allgemeine Verständnis der Aufgabe betrifft.

ich hoffe, ich treib nicht gleich alle mit in den Wahnsinn! sei mal eine kleine Entschuldigung und ein grosses Dankeschön an dieser Stelle angebracht!
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Finde erstmal eine Basis. Und zwar eine andere als meine. Zum Üben kannst du die später nochmal nehmen...

Welche drei Matrizen könnte man wohl als Basis für den Raum der symmetrischen 2x2-Matrizen wählen?
eisley Auf diesen Beitrag antworten »




als Basis würde ich nun vorschlagen.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist ein mögliche Basis. Nun schau, worauf diese Matrizen abgebildet werden.
eisley Auf diesen Beitrag antworten »

..ich bin zugegeben ziemlich unsicher. aber da es ein Endomorphismus ist, logischerweise wieder auf den Vektorraum V.
und man muss auf die vorgegebene Zuordnung achten.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

In Deinem ersten Beitrag steht eindeutig, worauf eine Matrix abgebildet wird. Du hast hier ganz konkrete Matrizen stehen und kannst deren Bilder ebenso konkret angeben.

Also:
Worauf wird abgebildet?
Worauf wird abgebildet?
Worauf wird abgebildet?
eisley Auf diesen Beitrag antworten »

würde das bedeuten ..ich sehr vor lauter Bäumen bald den Wald nicht mehr.. wie man so schön sagt.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Setze und wende die Vorschrift aus Deinem ersten Beitrag darauf an.
eisley Auf diesen Beitrag antworten »

aaah ich idiot !!!

Dann löse ich die Aufgabe nun wie folgt:

, d.h. ich berechne ; dies ergibt mir die "erste" Matrix.

analog die anderen beiden.

Die drei daraus resultierenden Matrizen sind dann schon die Lösung der gestellten Aufgabe!

ha. ich klatsch mich gegen die Wand, wenn das so stimmt.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Lass ma die Wand trocken - das stimmt nicht...

Die drei berechneten Bilder musst du nun jeweils wieder als Linearkombinationen deiner Basiselemente darstellen.
eisley Auf diesen Beitrag antworten »

d.h. zum Beispiel für das erste Bild, das ich durch erhalte (ich nenne es hier ), muss noch



gefunden werden.

mein Resultat wäre dann die Matrix:

ich vermute, nach dieser "Idee" verbannt ihr mich bald von der Seite? geschockt
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist fast richtig, bis auf, dass du Zeilen und Spalten vertauschst. Augenzwinkern

Und natürlich ist es hier sehr einfach, r, s und t zu finden. Man muss sie ja nur ablesen.
eisley Auf diesen Beitrag antworten »

also

vielen lieben dank !! herrlich..
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Die Matrizen aus der Basis und die Matrix sind konkret gegeben. Ich hoffe Dir ist bewusst, dass Du damit auch die konkret angeben kannst. (Also konkreten Zahlenwerte.)

Konkrete Grüße,
Reksilat.
eisley Auf diesen Beitrag antworten »

ja natürlich. ich bin es jetzt gerade am ausrechnen. hab es nur so allgemein angegeben, weil ich gerade wieder geantwortet hab.
so kenne ich den Lösungsweg und kann mir jetzt in Ruhe alles aufschreiben und die Werte berechnen.

vielen lieben Dank für eure Hilfe !
Anfänger 2010 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo
Ich versuche gerade diese Aufgabe nach zu vollziehen, da ich eine ganz ähnliche hab.
Ich habe aber noch ein par FRagen hoffe ihr könnt helfen.

Die 3 Matrizen der Basis also E1,E2+E3,E4 sind doch alles 2x2 Matrizen?

Mit diesen 3 rechnet man dann mit der Vorschrift aus der Aufgabe aus wie sie nun aussehen. So bekommet mann 3 neue Matrizen, die jetzt wieder die Basen darstellen nur eben nach dem abbilden.
Hab ich das so weit richtig verstanden?
NUr den letzten schritt versteh ich noch nicht genau, mit der linearen unabhängigkeit. Wie kommt da am Ende eine 3x3 Matrix heraus? kann mir das jemand erläutern?
Yoshee Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
uns wurde immer dieser eine Satz eingeblaeut:
"Die Spalten einer Matrix (einer linearen Abbildung) sind die Bilder der Basisvektoren"
Da du einen 3 dimensionalen Vektorraum hast, besteht die Basis eben aus 3 Elementen, folglich gibt es auch 3 Bilder, fuer jede Basismatrix eins. Also besteht die matrix aus 3 Spalten. Da die Abbildung ein Endomorphismus ist, muss die Matrix quadratisch sein, also auch 3 Zeilen.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Anfänger 2010:
NUr den letzten schritt versteh ich noch nicht genau, mit der linearen unabhängigkeit. Wie kommt da am Ende eine 3x3 Matrix heraus? kann mir das jemand erläutern?

In diesem Thread wurde vorher kein einziges Mal "linear unabhängig" geschrieben. Was zum Geier meinst Du?
Außerdem hat eisley in ihren letzten beiden Beiträgen genau beschrieben, wie man auf die Matrix kommt. Was genau verstehst Du daran nicht?

Gruß,
Reksilat.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Reksilat
Zitat:
Anfänger 2010:
NUr den letzten schritt versteh ich noch nicht genau, mit der linearen unabhängigkeit. Wie kommt da am Ende eine 3x3 Matrix heraus? kann mir das jemand erläutern?

In diesem Thread wurde vorher kein einziges Mal "linear unabhängig" geschrieben.


Ich glaube, yoshee meinte "Linearkombination".
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