System von Differenentialgleichung (Matrix)

03.03.2010, 17:36

Payday

System von Differenentialgleichung (Matrix)

hallo

ich hab ein großes problem, ich hab letzt und dieses semester mathe 2+3 gehört, aber durch diese tolle technik das man nur 1 prüfung hat über 2 semester vergisst man leider doch eine ganze menge. zum glück gibt der prof doch einige übungsaufgaben raus, sogar mit lösung. aber bei der matrxi berechnung scheiden sich leider völlig die geister. den papula 1-3 + formelsammlung hab ich vor mir liegen aber mit den allgemeinen begriffen komme ich hier einfach nicht weiter.

ein beispiel:

y´ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 &-3 &1 \\ 0 &-1 &1 \\ 0 &1 &-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

det = (2-x)*(-1-x)*(-1-x) - ??? (lösung sagt hier soll +1 rauskommen, wenn ich aber 0 * 1 nehme kommt - 0 raus ?! )

auf jedenfall sind die nullstellen dann 0/2/-2 (eigenwerte)

x1 =0

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 &-3 &1 \\ 0 &-1 &1 \\ 0 &1 &-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

soweit so klar, einfach x=0 einsetzen

so und nun endet mein latein, wie komme ich nun auf die nächste zeile die in der lösung wie folgt aussieht

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 &-3 &1 \\ 0 &-1 &1 \\ 0 &0 &-0 \end{pmatrix} \begin{vmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

(sorry weiss nicht wie ich das richtig einfühe, halt die 0 in die klammer ans ende jeweils)

wieso ist nun die unterste zeile überall 0, wo kommen die 0 hinter den | her?

und als lösung kommt dann

e1 = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wieso nun überall eine 1, in der untersten zeile war doch vorher überall 0

der ganze spass halt 3x, aber ich versteh nicht wie man von 1 schritt zum nächsten kommt. im papula verliert man dadrüber kaum ein wort in einen ganz anderen beispiel. ich komme hier einfach nicht mehr weiter. ich bitte einfach mal um die numerische lösung wie man weiterkommt(siehe farblich).

ich danke für die antworten, ich komme hier echt nicht mehr weiter und meine bücher mit all ihren formeln helfen mir da auch nicht weiter unglücklich

03.03.2010, 17:45

giles

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Was für ein Chaos. Es ist garnicht klar was du überhaupt willst.
Darüberhinaus ist deine DGl so wie sie da steht trivial:

Zitat:

y´ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 &-3 &1 \\ 0 &-1 &1 \\ 0 &1 &-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Einfach beide Seiten integrieren unter Beachtung der Anfangswerte.

Wie du da auf irgendwelche Eigenwertprobleme kommst verstehe ich auch nicht so wirklich.

03.03.2010, 17:48

Payday

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sorry für die das wilde durcheinander, ich hab die formeln nun auf latex geändert. die lösung mag trivial anders zu lösen sein ich möchte aber anhand dieses beispieles gerne mal wissen wie ich überhaupt von einer maxtrix auf die nächste komme (siehe rote schrift) und das am besten nicht mit wilden formeln sondern einfach mal mit den trivialen zahlen vorgerechnet, das muss auch nicht schön aussehen mit vielen tollen bruchstrichen und co, hauptsache ich kann überhaupt nachvollziehen was man da machen muss)

03.03.2010, 18:08

giles

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Es gibt keinen Grund bei dieser DGl die Eigenwerte der Matrix zu bestimmen.
Darüberhinaus ist das keine Lösung von irgendwas..

Zitat:

x1 =0

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 &-3 &1 \\ 0 &-1 &1 \\ 0 &1 &-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

soweit so klar, einfach x=0 einsetzen

[..] die nächste zeile die in der lösung wie folgt aussieht

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 &-3 &1 \\ 0 &-1 &1 \\ 0 &0 &-0 \end{pmatrix} \begin{vmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
[...]
und als lösung kommt dann

e1 = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was ist das? Lösung von was? Dort steht nichts, was man lösen könnte. Es steht nicht mal ein Ausdruck dort, sondern nur Terme.

Beispiele für Ausdrücke:
1+2=3, $\begin{eqnarray*} A\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ , Die Sonne scheint.

Beispiele für Terme:
1+2, A, Sonne

Ich kann nur raten, dass hier sowas passiert wie Eigenvektoren bestimmen; aber eigentlich sehe ich nicht ein, wieso man das hier machen sollte. Ist Teil b) der Aufgabestellung die Matrix zu untersuchen? So besteht da kein Zusammenhang.

Kurze Frage für zwischendurch... kann es sein, dass die DGl eigentlich so aussieht:
$\begin{eqnarray*} y'=\begin{pmatrix} 2 &-3 &1 \\ 0 &-1 &1 \\ 0 &1 &-1 \end{pmatrix} y \end{eqnarray*}$
Dann würde es wenigstens Sinn machen, Eigenvektoren zu suchen...

03.03.2010, 18:20

Payday

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ja da steht hinten ein Y hinter und auch eine spezielle lösung ist vorhanden. da man das aber erst am ende machen soll hab ich das weggelassen da dort auch nur dat selbe nochmal gemacht wird wie oben. über den sinn und unsinn der rechnung geht es wie gesagt nicht, könnte auch kryptische zahlenfolgen hinschreiben aber mir geht es einfach dadrum das ich überhaupt verstehe wie man von 1 matrix zur nächsten kommt.

edit:

ich hab nun einfach mal die ganze aufgabe hochgeladen:

http://www.bilder-hochladen.net/files/b3up-l-jpg.html

03.03.2010, 18:39

giles

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Zitat:

Original von Payday
ja da steht hinten ein Y hinter und auch eine spezielle lösung ist vorhanden. da man das aber erst am ende machen soll hab ich das weggelassen da dort auch nur dat selbe nochmal gemacht wird wie oben.

Soll das dein ernst sein? Wie soll man dir helfen, wenn du nicht mal die Aufgabe nennst bzw. bewusst eine falsche gibst?

Zitat:

über den sinn und unsinn der rechnung geht es wie gesagt nicht, könnte auch kryptische zahlenfolgen hinschreiben aber mir geht es einfach dadrum das ich überhaupt verstehe wie man von 1 matrix zur nächsten kommt.

Du verstehst es nicht, oder? Dort ist keine Rechnung. Das ist garnichts.

*seufz*
Wenigstens hast du jetzt die Aufgabe hochgeladen...
Was er da rechnet, ist: für Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und zugehörigen Eigenvektor $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ der Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gilt
$\begin{eqnarray*} Ax=\lambda x <br /> \Leftrightarrow (A-\lambda E)x=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt werden zu bestimmung von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nacheinander die Eigenwerte eingesetzt und das nach der letzten Gleichung entstehende Gleichungssystem wird dort dann mit Gaußverfahren gelöst.

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