transzendente Körpererweiterung

03.03.2010, 19:05

frischfisch

transzendente Körpererweiterung

Hallo,
also ich verstehe nicht so recht wann eine Körpererweiterung transzendent ist.
Hab nach einem Beispiel gesucht und herausgefunden, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb R / \mathbb Q \end{eqnarray*}$ eine transzendente Körpererweiterung ist.
Kann mir jemand erklären warum?
Soweit ich weiß ist eine Körpererweiterung L/K transzendet wenn es mindestens ein transzendentes a in L gibt.
Und das bedeutet ja, dass K(a) keine endliche Körpererweiterung ist.
Aber {a} ist doch eine endliche Menge, dann ist nach meinem Verständniss auch K(a) eine endliche Körpererweiterung.
Vermutlich ist das falsch, denn dann würde es ja gar keine transzendeten Körpererweiterungen geben...
Wo ist mein Denkfehler?

03.03.2010, 19:27

Elvis

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Eine algebraische Körpererweiterung K(a)/K ist ein endlicher Vektorraum über K. Für ein $\begin{eqnarray*} n \in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} a^n=k_0+k_1a+k_2a^2+...+k_{n-1}a^{n-1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k_i \in K \end{eqnarray*}$ .
Eine transzendente Körpererweiterung K(t)/K ist ein unendlicher Vektorraum über K. Beispiel $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\pi) \end{eqnarray*}$ , denn es ist $\begin{eqnarray*} 1, \pi, \pi^2 ,..., \pi^n, ... \end{eqnarray*}$ ein System von unendlich vielen linear unabhängigen Zahlen(=Vektoren) über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

Die von einer endlichen Menge A erzeugte Körpererweiterung K(A)/K heißt "endlich erzeugt".

03.03.2010, 19:30

wisili

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RE: transzendente Körpererweiterung
a. Körpererweiterungen können endlich sein oder unendlich, je nachdem welche Dimension des Vektorraums entsteht.
b. Körpererweiterungen können algebraisch oder transzendent sein, je nachdem die adjungierten Elemente Polynomnullstellen sind oder nicht.
c. Algebraische Körpererweiterungen können auch unendlich sein.

Edit: Elvis meint eine sog. einfache algebraische Körpererweiterung, d.h. die Adjunktion nur eines algebraischen Elementes.

03.03.2010, 21:34

frischfisch

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RE: transzendente Körpererweiterung
Danke! Das mit dem PI leuchtet mir ein. Mit e wäre es dann das gleiche.

Zitat:

Original von wisili
c. Algebraische Körpererweiterungen können auch unendlich sein.

Natürlich können algebraische Körpererweiterungen unendlich sein. Wenn man z.B. zu Q alle Quadratwurzeln dazu nimmt. So etwas meinst du, oder?

Aber wenn ein Körper nur mit einem Element erweitert wird, dann ist die Körpererweiterung entweder endlich (und algebraisch) oder transzendet (und unendlich).

04.03.2010, 08:27

wisili

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RE: transzendente Körpererweiterung
Ja, so meine ich es. Du und Elvis haben mich «gezwungen», diese Begriffe wieder mal nachzulesen. Da ist mir aufgefallen, dass etwa B.L.van der Waerden beim Adjungieren eines transzendenten Elementes von einer (zwar unendlichen, aber) einfachen Körpererweiterung spricht. Er meint damit, dass die adjungierte Menge nur ein Element enthalte. Ich glaube, das trifft ein bisschen deine Frage am Anfang.

Ich habe jetzt selber noch eine Unsicherheit: Wenn man Q (rationale Zahlen) die Menge {pi, e} adjungiert, hat man mit der Vertauschung pi <--> e einen Körperautomorphismus, nicht wahr? Erst das Aufprägen einer Topologie (angeordneter Körper) auf R (reelle Zahlen) erlaubt es dann, pi und e überhaupt zu unterscheiden. So ist es doch?

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