Grenzwert einer Funktion durch Abschätzen

03.03.2010, 19:30

brettvormkopp

Grenzwert einer Funktion durch Abschätzen

Folgendes soll gezeigt werden:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 3x +2}{x(x-1)} = -1 \end{eqnarray*}$

Die Definition ist ja, dass:

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0\ \exists \delta > 0\ \forall x \in D(f): ([0 < |x-a| < \delta] \Rightarrow [|f(x) - b| < \epsilon]) \end{eqnarray*}$ . Wobei $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb {R} \end{eqnarray*}$ Häufungspunkt von $\begin{eqnarray*} D(f) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb {R} \end{eqnarray*}$ Grenzwert von f an der Stelle a.

Ich komme mit dem Abschätzverfahren einfach nicht klar.

Zu zeigen ist:

$\begin{eqnarray*} |f(x) - b| < \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Also konkret:

$\begin{eqnarray*} |\frac{x^2 - 3x +2}{x(x-1)} - 1| < \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Sei nun:

$\begin{eqnarray*} 0 < |x-1| < \delta \end{eqnarray*}$ .

Mein Buch sagt hier: "Da nur das Verhalten in der Nähe von x = 1 interessiert, machen wir die Einschränkung: $\begin{eqnarray*} 0 < |x-1| < \frac {1}{2} \end{eqnarray*}$ ." (1)

Zwischenfrage: Man darf sich hier also irgendein Delta aussuchen? Am besten in der Nähe von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ? $\begin{eqnarray*} \frac {3}{2} \end{eqnarray*}$ wär z. B. auch möglich?

So, und jetzt passiert Folgendes.

$\begin{eqnarray*} |x| = |x-1+1| \geq 1 - |x-1| > 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ Wieso? Die Umformungen kann ich nachvollziehen, aber WIESO passiert dies? Ich meine, klar. Wenn ich bei der Ungleichung (1) auf beiden Seiten (-1) multipliziere und +1 addiere, dreht sich das Ungleichheitszeichen um und wir haben eben: $\begin{eqnarray*} 1-|x-1| > 1- \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Nur: why?

Weiterhin passiert das hier:

$\begin{eqnarray*} |f(x) - b| \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} |f(x) - (-1)| \end{eqnarray*}$ ist nach einigen Umformungen: $\begin{eqnarray*} f(x) = |x-1| \frac{2}{|x|} \end{eqnarray*}$ . Und mit der Zeile darüber:

$\begin{eqnarray*} f(x) = |x-1| \frac{2}{|x|} < |x-1| \cdot \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4 \cdot |x-1| \end{eqnarray*}$

Und damit soll's bewiesen sein. Ich verstehe es aber einfach nicht so recht. Da wir weiter oben gezeigt haben, dass $\begin{eqnarray*} 0,5 < |x| \end{eqnarray*}$ und damit 0,5 im Nenner natürlich den Term insgesamt größer macht, ist mir ja klar, aber was zeigt das denn nun? Ich verstehe den Zusammenhang nicht. Wo ist denn jetzt gezeigt, dass für alle Epsilon > 0 $\begin{eqnarray*} |f(x) - b| < \epsilon \end{eqnarray*}$ ist? Ich kann hier nur nachvollziehen, dass $\begin{eqnarray*} \delta = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ scheinbar einfach so gewählt wurde.

03.03.2010, 20:33

Kühlkiste

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RE: Grenzwert einer Funktion durch Abschätzen

Zitat:

Original von brettvormkopp
Folgendes soll gezeigt werden:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 3x +2}{x(x-1)} = -1 \end{eqnarray*}$

Faktorisiere einfach den Zähler!

03.03.2010, 20:58

brettvormkopp

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RE: Grenzwert einer Funktion durch Abschätzen

Zitat:

Original von Kühlkiste

Zitat:

Original von brettvormkopp
Folgendes soll gezeigt werden:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 3x +2}{x(x-1)} = -1 \end{eqnarray*}$

Faktorisiere einfach den Zähler!

Äh. Und dann? $\begin{eqnarray*} (x-2)(x-1) \end{eqnarray*}$ . Hat aber mit meinem Verständnisproblem nichts zu tun. unglücklich

03.03.2010, 21:02

Iorek

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Dann hast du $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to 1} \frac {(x-2)(x-1)}{x(x-1)} \end{eqnarray*}$ da stehen, fällt dir was auf? Augenzwinkern

03.03.2010, 21:15

Kühlkiste

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RE: Grenzwert einer Funktion durch Abschätzen

Zitat:

Original von brettvormkopp
Äh. Und dann? $\begin{eqnarray*} (x-2)(x-1) \end{eqnarray*}$ . Hat aber mit meinem Verständnisproblem nichts zu tun. unglücklich

@brettvormkopp

Bei Dir ist der Name Programm - oder?

03.03.2010, 21:17

brettvormkopp

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Dann kürzt sich $\begin{eqnarray*} x-1 \end{eqnarray*}$ raus und ich habe: $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to 1} \frac {(x-2)}{x} \end{eqnarray*}$ . Natürlich sehe ich dann, dass der Zähler gegen -1 und der Nenner gegen 1 geht, womit letztendlich -1 als Grenzwert rauskommt. Hilft mir aber bei meinem Verständnisproblem nicht. Ich will's ja nicht so lösen. Ich will's mit der "Abschätzmethode" und der Definition des Grenzwertes lösen. Lest mal den kompletten Beitrag, nicht nur die Aufgabenstellung. Big Laugh

03.03.2010, 21:45

Kühlkiste

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Zitat:

Original von brettvormkopp
Dann kürzt sich $\begin{eqnarray*} x-1 \end{eqnarray*}$ raus und ich habe: $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to 1} \frac {(x-2)}{x} \end{eqnarray*}$ . Natürlich sehe ich dann, dass der Zähler gegen -1 und der Nenner gegen 1 geht, womit letztendlich -1 als Grenzwert rauskommt. Hilft mir aber bei meinem Verständnisproblem nicht. Ich will's ja nicht so lösen. Ich will's mit der "Abschätzmethode" und der Definition des Grenzwertes lösen. Lest mal den kompletten Beitrag, nicht nur die Aufgabenstellung. Big Laugh

Da geht einiges durcheinander.
Du möchtest nämlich offensichtlich die Stetigkeit an der Stelle 1 mit der Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit nachweisen.

Dazu solltest Du den abzuschätzenden Ausdruck zunächst mal richtig hinschreiben:

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{x^2-3x+2}{x(x-1)}-(-1)\right|=2\left| \frac{x-1}x\right| \end{eqnarray*}$

Damit sollt sich doch was anfangen lassen...

03.03.2010, 21:53

brettvormkopp

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Zitat:

Original von Kühlkiste
Damit sollt sich doch was anfangen lassen...

Leider nicht. Die Umformung habe ich doch auch schon im Eingangsposting geschrieben. Die ist überhaupt nicht mein Problem. Mein Problem steht im 1. Posting.

03.03.2010, 21:56

brettvormkopp

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Epsilon-Delta-Kriterium scheint aber der richtige Begriff dafür zu sein. Da konnte ich sogar auf diesem Board was zu finden. Nur geht's noch nicht um Stetigkeit.

04.03.2010, 00:17

Kühlkiste

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Zitat:

Original von brettvormkopp
Epsilon-Delta-Kriterium scheint aber der richtige Begriff dafür zu sein. Da konnte ich sogar auf diesem Board was zu finden. Nur geht's noch nicht um Stetigkeit.

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ beliebig.

Wähle $\begin{eqnarray*} \delta:=\operatorname{min} \left( \frac 12,~\frac {\epsilon}4\right). \end{eqnarray*}$

Dann gilt $\begin{eqnarray*} \frac 1{|x|}<2 \end{eqnarray*}$ und für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-1|<\delta \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{x^2-3x+2}{x(x-1)}+1\right|=2\frac 1{|x|}|x-1|<4\delta\leq\epsilon. \end{eqnarray*}$

04.03.2010, 12:20

brettvormkopp

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Eigentlich möchte ich nur eine wörtliche Erklärung der Schritte. Was du da machst, steht so auch in meinem Buch. Ich kann's nur nicht komplett nachvollziehen.

Ich versuch's mal selber. Du setzt $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ auf einen bestimmten Wert fest, nämlich irgendeinen Wert zwischen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ (0 und 1/2 selber dürfen nicht angenommen werden). Hier weiß ich schonmal gar nicht, warum man das macht und warum ausgerechnet dieses offene Intervall (exakt dieses Intervall verwendet nämlich auch mein Buch). Ich kann aber einigermaßen verstehen, dass $\begin{eqnarray*} \delta(\epsilon) \end{eqnarray*}$ mich weiterbringt, da ich so "für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ definieren kann und $\begin{eqnarray*} y = \delta(\epsilon) \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ liefert, wie in der Definition verlangt.

Alles danach verstehe schonmal gar nicht mehr.

Zitat:

Original von Kühlkiste

Dann gilt $\begin{eqnarray*} \frac 1{|x|}<2 \end{eqnarray*}$ und für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-1|<\delta \end{eqnarray*}$ folgt:

Wieso? Woher?

Bei diesem Thema habe habe ich einfach ein Brett vorm Kopf.

04.03.2010, 13:15

Kühlkiste

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In Abhängigkeit von einem beliebig vorgegebenen $\begin{eqnarray*} \epsilon>0, \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ so gewählt, dass für alle $\begin{eqnarray*} x, \end{eqnarray*}$ die in einer $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Umgebung um $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ liegen, gilt:

$\begin{eqnarray*} |f(x)+1|<\epsilon. \end{eqnarray*}$

Wenn das gezeigt ist, dann gilt definitionsgemäß:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 1}f(x)=-1. \end{eqnarray*}$

Jetzt musst Du Dir nur noch klar machen warum für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-1|<\delta \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac 1{|x|}<2 \end{eqnarray*}$ .

Nach Wahl von $\begin{eqnarray*} \delta:=\operatorname{min}\left(\frac 12,\frac{\epsilon}4\right) \end{eqnarray*}$ sollte das aber machbar sein.

04.03.2010, 17:59

brettlöstsichauf

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Ich mache mal eine andere Aufgabe. Evtl. kannst du mir sagen, ob das so ok ist?

Aufgabe: Zeige: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3} \frac{x^2-4x+3}{2x-6} = 1 \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb {R}, x \ne 3 \end{eqnarray*}$ )

Dann wäre zu zeigen, dass:

$\begin{eqnarray*} |f(x) - 1| < \epsilon \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} 0 < |x-3| < \delta \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} |f(x) -1| = \frac{|x-3|}{2} \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} \delta := 4 \end{eqnarray*}$ . Dann ist: $\begin{eqnarray*} 0 < |x-3| < 4 \end{eqnarray*}$

Dann folgt daraus:

$\begin{eqnarray*} |f(x) -1| = \frac{|x-3|}{2} < 2 \end{eqnarray*}$

Es darf also $\begin{eqnarray*} \delta(\epsilon) = min(\epsilon, 4) \end{eqnarray*}$ sein.

Richtig so?

04.03.2010, 19:00

Kühlkiste

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Zitat:

Original von brettlöstsichauf

Aufgabe: Zeige: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3} \frac{x^2-4x+3}{2x-6} = 1 \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb {R}, x \ne 3 \end{eqnarray*}$ )

Dann wäre zu zeigen, dass:

$\begin{eqnarray*} |f(x) - 1| < \epsilon \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} 0 < |x-3| < \delta \end{eqnarray*}$ .

Genau.

Und jetzt kommt die berühmte Einleitung: Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig.

Zu diesem $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ wähle $\begin{eqnarray*} \delta:=2 \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-3|<\delta~, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |f(x) -1| = \frac{|x-3|}{2}<\frac{\delta}2=\epsilon. \end{eqnarray*}$

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