Nachweis eines Semiringes

21.10.2006, 02:12

Seb17

Nachweis eines Semiringes

Eine wunderschöne gute Nacht smile

Habe noch eine Aufgabe, bei der es bei mir bei der dritten Bedingung hapert. Also, thx im Voraus:

Zu zeigen: Sind $\begin{eqnarray*} \mathcal{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathcal {S} \end{eqnarray*}$ Semiringe über $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} \mathcal{R}\cdot\mathcal{S}:=\{A \times B:A\in\mathcal{R}, B\in\mathcal{S}\} \end{eqnarray*}$ ein Semiring über $\begin{eqnarray*} X \times Y \end{eqnarray*}$ .

Die dritte Bedingung für einen Semiring lautet ja, dass aus $\begin{eqnarray*} A, B \in \mathcal{R} \cdot \mathcal{S} \end{eqnarray*}$ folgen muss, dass $\begin{eqnarray*} B \setminus A \end{eqnarray*}$ eine paarweise disjunkte Vereinigung von Mengen aus dem verknüpften Semiring sein muss.

Wie gehe ich da ran? Könnt ihr mal versuchen, bei der Lösung anzusetzen, damit ichs dann zu Ende bringen kann? Wäre super. Bis denne. Seb17

21.10.2006, 11:02

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Zitat:

Original von Seb17
Die dritte Bedingung für einen Semiring lautet ja, dass aus $\begin{eqnarray*} A, B \in \mathcal{R} \cdot \mathcal{S} \end{eqnarray*}$ folgen muss, dass $\begin{eqnarray*} B \setminus A \end{eqnarray*}$ eine paarweise disjunkte Vereinigung von Mengen aus dem verknüpften Semiring sein muss.

Richtig. Und wegen $\begin{eqnarray*} B \setminus A = B \setminus (A\cap B) \end{eqnarray*}$ genügt es, diese Aussage für $\begin{eqnarray*} A\subseteq B \end{eqnarray*}$ zu beweisen. Mit $\begin{eqnarray*} A = A_1\times A_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B = B_1\times B_2 \end{eqnarray*}$ folgt dann aus $\begin{eqnarray*} A\subseteq B \end{eqnarray*}$ sofort $\begin{eqnarray*} A_1\subseteq B_1,A_2\subseteq B_2 \end{eqnarray*}$ , zumindest falls $\begin{eqnarray*} A\neq\emptyset \end{eqnarray*}$ ist (im Trivialfall $\begin{eqnarray*} A=\emptyset \end{eqnarray*}$ ist ja eh nix zu beweisen).

Nun sind ja $\begin{eqnarray*} \mathcal{R},\mathcal {S} \end{eqnarray*}$ Semiringe, also gibt es disjunkte Mengen $\begin{eqnarray*} U_i\in\mathcal{R},V_j\in\mathcal{S} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} B_1\setminus A_1 = \bigcup\limits_i U_i, B_2\setminus A_2 = \bigcup\limits_j V_j \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} A_1\subseteq B_1,A_2\subseteq B_2 \end{eqnarray*}$ folgen daraus unmittelbar die disjunkten Zerlegungen

$\begin{eqnarray*} B_1 = A_1 \cup \bigcup\limits_i U_i,\qquad B_2 = A_2\cup \bigcup\limits_j V_j \end{eqnarray*}$ .

Und nun für $\begin{eqnarray*} (B_1\times B_2)\setminus (A_1\times A_2) \end{eqnarray*}$ eine disjunkte Zerlegung von Mengen aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{R}\cdot \mathcal {S} \end{eqnarray*}$ anzugeben, ist nur noch Formsache.

P.S.: Eigentlich ist das eher Algebra. Aber über die Kette

Semiring -> Sigma-Algebra -> Maßtheorie -> Wahrscheinlichkeitstheorie

hat es zumindest mittelbar mit dieser Rubrik hier zu tun, also lass ich es mal hier. Augenzwinkern

21.10.2006, 16:41

Seb17

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Danke, danke Arthur (hab' ehrlich gesagt schon darauf gehofft, dass du antwortest) ^^ schreibe den Rest nachher noch mal rein smile

bis dann, lg seb17

21.10.2006, 19:08

Seb17

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Wäre das also?:

$\begin{eqnarray*} \left((A_1\cup\bigcup U_i)\times (A_2\cup\bigcup V_j)\right)\setminus \left((B_1\setminus \bigcup U_i)\times (B_2\setminus \bigcup V_j)\right) \end{eqnarray*}$

als Vereinigung disjunkter Mengen aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{R}\cdot\mathcal{S} \end{eqnarray*}$ ?

Vielleicht noch eine andere Frage, wenn es keine Umstände macht: Wenn ich zeigen soll, dass ein bestimmtes Mengensystem eine $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra über z.B. B, nicht $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , ist, dann ist doch als erstes zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} B\in\sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra oder?

Vielen Dank ... Augenzwinkern

21.10.2006, 22:21

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Zitat:

Original von Seb17
Wäre das also?:

$\begin{eqnarray*} \left((A_1\cup\bigcup U_i)\times (A_2\cup\bigcup V_j)\right)\setminus \left((B_1\setminus \bigcup U_i)\times (B_2\setminus \bigcup V_j)\right) \end{eqnarray*}$

Wie du dem Ausdruck ansiehst, dass er eine disjunkte Vereinigung von Mengen aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{R}\cdot\mathcal{S} \end{eqnarray*}$ sein soll, ist mir mehr als schleierhaft...

Ich hatte es auch eher so gedacht:

$\begin{eqnarray*} (B_1\times B_2)\setminus (A_1\times A_2) = \left( \left[ A_1 \cup \bigcup\limits_i U_i \right] \times \left[ A_2\cup \bigcup\limits_j V_j \right] \right) \setminus (A_1\times A_2) \stackrel{!}{=} \bigcup\limits_j (A_1\times V_j) \cup \bigcup\limits_i (U_i\times A_2) \cup \bigcup\limits_i \bigcup\limits_j (U_i\times V_j) \end{eqnarray*}$

22.10.2006, 16:55

Seb17

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Ahhha ...
Kann ich daraus entnehmen, dass für das Kartesische Produkt folgendes Rechengesetz gilt:

$\begin{eqnarray*} (A\cup B)\times (C\cup D)=(A\times C)\cup(A\times D)\cup (B\times C)\cup (B\times D) \end{eqnarray*}$

Und wegen $\begin{eqnarray*} \setminus (A_1\times A_2) \end{eqnarray*}$ fällt der erste Teil in deiner Lösung heraus ...

Sorry für meinen falschen Ansatz, aber bin erst im dritten Semester und hab' Stochastik I aus dem Hauptstudium nach vorne gezogen Augenzwinkern

Hoffe, du siehst mir das nach ... Dass obiges Rechengesetz gilt, hab' ich bis jetzt auch noch nicht in irgendeiner Veranstaltung gehört, aber glaub' ich dir einfach mal Augenzwinkern

Bis dann, Seb17