Volumen eines elliptischen Paraboloides

03.03.2010, 21:09	Thorsten777	Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen eines elliptischen Paraboloides Hallo, wie berechnet man das Volumen eines elliptischen Paraboloiden zwischen der eingeschlossenen (x,y) Ebene mit $\begin{eqnarray} z= 4-x^{2} -y^{2} \end{eqnarray}$ Mein Problem ist hier zunächst wie ich die Grenzen des 3-fachen Integrals bestimme also für z und r, phi wird ja von 0 bis 2pi gehen denk ich mal
04.03.2010, 10:26	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst gar kein Dreifach-Integral lösen. Dein Paraboloid ist nämlich ein Rotationskörper, der entsteht, wenn man folgende Parabel um die z-Achse kreisen lässt $\begin{eqnarray} z(x)=4-x^2 \end{eqnarray}$ __________(1) Die Rechnung wird aus praktischer Sicht einfacher, wenn man den Parabolid um 90° kippt. Mathematisch bedeutet dies, dass man dann folgende Wurzelfunktion um die x-Achse kreisen lässt $\begin{eqnarray} z=\sqrt{4-x} \end{eqnarray}$ __________(2) Die Funktion (2) rotiert jetzt um die Abzisse und nicht mehr wie (1) um die Ordinate. Das ist rechnerisch etwas günstiger. Was jetzt kommt, ist Schulstoff: Die allgemeine Formel für das Volumen von Rotationskörpern, die entstehen, wenn man eine Funktion z(x) um die x-Achse rotieren lässt, lautet $\begin{eqnarray} V=\pi \int_{x_1}^{x_2} \! z^2(x) \, dx \end{eqnarray}$ __________(3) Setze nun (2) in (3) ein und integriere im Intervall [4;0]
04.03.2010, 11:24	Thorsten777	Auf diesen Beitrag antworten »
gut, danke. dann ist es ja viel einfacher als ich dachte. eine Frage hätte ich dazu noch, wenn man den Parabolid um 90° kippt, wie kommt man dann auf $\begin{eqnarray} z=\sqrt{4-x} \end{eqnarray}$ ?
04.03.2010, 12:42	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz allgemein erhält man zu einer gegebenen Funktion f die inverse ("gekippte") Funktion $\begin{eqnarray} f^ \end{eqnarray}$ durch Spiegelung von f an der Geraden z=x. Rechnerisch macht man dies in 2 Schritten: 1. Umstellen der gegebenen Funnktion z=f(x) nach x 2. Vertauschen der Variablen x und z. Beispiel 1: Gegeben sei die Funktion $\begin{eqnarray} z=4-x^2 \end{eqnarray}$ . 1. Umstellen nach x ergibt $\begin{eqnarray} x=\sqrt{4-z} \end{eqnarray}$ . 2. Vertauschen der Variablen ergibt $\begin{eqnarray} z=\sqrt{4-x} \end{eqnarray}$ . Beispiel 2: Gegeben sei die Funktion $\begin{eqnarray} z=2x+1 \end{eqnarray}$ . 1. Umstellen nach x ergibt $\begin{eqnarray} x=\frac{z-1}{2} \end{eqnarray}$ . 2. Vertauschen der Variablen ergibt $\begin{eqnarray} z=\frac{x-1}{2} \end{eqnarray*}$ .
05.02.2012, 13:52	TheShadow	Auf diesen Beitrag antworten »
Dieser Thread ist zwar schon etwas älter, aber ich möchte trotzdem etwas richtig stellen: Das elliptische Paraboloid ist i.A. KEIN Rotationskörper! Deswegen steht da ja auch das Zusatzwort "elliptisch" (= kein konstanter Radius). Ein Paraboloid ist nur unter der Bedingung a = b ein Rotationsparaboloid. Somit kann man im Allgemeinen bei der Volumenberechnung eines elliptischen Paraboloiden nicht über den Weg des Rotationskörpers gehen.

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