Vollständige induktion: ungleichung

04.03.2010, 14:55

md86

Vollständige induktion: ungleichung

Hallo!
hab hier ein Beispiel und hab leider keinen Plan wie ich dieses Beispiel rechne!

Man untersuche mittels vollständiger Induktion, für welche n e N die angegebene
Ungleichung gilt:
$\begin{eqnarray*} 3n+2^n \le 3^n \end{eqnarray*}$

04.03.2010, 14:56

Iorek

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Dann fängst du am besten mal beim Induktionsanfang an, setz mal Zahlen für n ein und fang an zu rechnen.

04.03.2010, 15:09

md86

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ok hab jetzt die Zahlen eingesetzt und würde sagen das es ab n=3 immer richtig wären
n=0 ist auch richtig.

als nächstes würd ich jetzt n -> n+1 einsetzen also:

$\begin{eqnarray*} 3(n+1)+2^{n+1} \le 3^{n+1} \end{eqnarray*}$

falls das stimmt weiß ich aber nicht mehr weiter

04.03.2010, 15:13

Iorek

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Erst mal musst du deine Induktionsvoraussetzung nennen, sonst kannst du nichts damit beweisen Augenzwinkern

04.03.2010, 15:16

md86

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war das nicht alles?
kenn mich da leider überhaupt nicht aus!

04.03.2010, 15:18

Iorek

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Wenn du die Grundprinzipien der vollständigen Induktion nicht kennst, wird das aber nichts unglücklich

Hast du schon einmal etwas mit vollst. Induktion bewiesen?

04.03.2010, 15:25

md86

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irgendwelche formeln. habs bis jetzt nur mit einem Beispiel erklärt bekommen!

aber das war eigentlich nur ausrechnen

04.03.2010, 15:37

Iorek

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Dann lies in deinen Unterlagen erst einmal nach, was du überhaupt alles brauchst, um die Induktion führen zu können, und mach dir klar, wie so ein Beweis per vollständiger Induktion überhaupt funktioniert.

05.03.2010, 14:18

md86

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Hallo!
also :

Induktionsanfang: n=3

$\begin{eqnarray*} 3n+2^n \le 3^n \end{eqnarray*}$

Linke Seite:
$\begin{eqnarray*} 3*3+2^3 = 9 + 8 = 17 \end{eqnarray*}$
Rechte Seite:
$\begin{eqnarray*} 3^3= 27 \end{eqnarray*}$

dadurch dass $\begin{eqnarray*} 17 \le 27 \end{eqnarray*}$ ist passt die ungleichung.

Induktionsvoraussetzung: n $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ n+1

Induktionsbehauptung: $\begin{eqnarray*} 3(n+1)+2^{n+1} \le 3^{n+1} \end{eqnarray*}$

Induktionsschluss:
Da würd ich jetzt sagen dass:
$\begin{eqnarray*} 3(n+1)+2^{n+1} \le 3^n + 3(n+1)+2^{n+1} \end{eqnarray*}$

aber so kanns eigentlich nicht stimme!
könnte mir da bitte wer helfen? danke

05.03.2010, 16:21

md86

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habs jetzt nochmals probiert!

könnte mir jemand sagen ob das richtig ist?

$\begin{eqnarray*} n \le 1 \end{eqnarray*}$

Ind. A. : n=3

$\begin{eqnarray*} 3(n+1)+2^{n+1} \le 3^{n+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3(n+1)+2*2^{n} \le 3* (3n+2^n) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3n+3+2^n*2 \le 9n+3*2^n \end{eqnarray*}$ | $\begin{eqnarray*} -(3n) ; -(2*2^n) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3 \le 6n+2^n \end{eqnarray*}$

05.03.2010, 16:39

Kühlkiste

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Zitat:

Original von md86
Da würd ich jetzt sagen dass:
$\begin{eqnarray*} 3(n+1)+2^{n+1} \le 3^n + 3(n+1)+2^{n+1} \end{eqnarray*}$

aber so kanns eigentlich nicht stimme!
könnte mir da bitte wer helfen? danke

Und da würd ich jetzt sagen dass:

$\begin{eqnarray*} 3(n+1)+2^{n+1} =\underbrace{3n+2^n}_{\le 3^n}+3+2^n \le 3^n + 3+2^n\le 3^n + 3^n+3^n=3^{n+1} \end{eqnarray*}$

05.03.2010, 16:51

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hallo!
deine schritte kann ich ehrlichgesagt nicht nachvollziegen!

lg

05.03.2010, 17:55

mathe_man

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Ich würds so machen:

$\begin{eqnarray*} 3(n+1)+2^{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 3n+3+2^{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq 3 \cdot 3^n+ 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ (*)

$\begin{eqnarray*} =3^{n+1} \end{eqnarray*}$

(*) Diesen Schritt musst du kurz begründen.

05.03.2010, 18:23

WebFritzi

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Zitat:

Original von mathe_man
$\begin{eqnarray*} \leq 3 \cdot 3^n+ 2^{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =3^{n+1} \end{eqnarray*}$

Diesen Schritt musst du kurz begründen. Big Laugh

@md: Wie wäre es, wenn du sagen würdest, was genau du nicht nachvollziehen kannst?

05.03.2010, 18:29

md86

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eigentlich den ganzen schritt von kühlkiste!

05.03.2010, 18:32

WebFritzi

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Das erste Gleichheitszeichen ist doch trivial. Wenn du rechnen kannst, verstehst du das...

05.03.2010, 18:45

md86

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ja das erste schon!
ist ja nur ausgerechnet!

aber wie kommt er von

$\begin{eqnarray*} 3^n+3+2^n \le 3^n+3^n + 3^n \end{eqnarray*}$

das versteh ich nicht ganz

05.03.2010, 21:52

WebFritzi

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Wirklich nicht? Jeder Summand links ist halt nicht größer als $\begin{eqnarray*} 3^n. \end{eqnarray*}$

Warum ist $\begin{eqnarray*} 3\le 3^n\,? \end{eqnarray*}$

Warum ist $\begin{eqnarray*} 2^n\le 3^n\,? \end{eqnarray*}$

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