induktion?

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born 2lose lautrec Auf diesen Beitrag antworten »
induktion?
Zu beweisen ist diese Aussage:



Weder direkt, noch per Induktion krieg ich das hin traurig

Gibt's da noch was anderes oder bin ich einfach nur zu dämlich?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Was besonders stört, ist der Divisor auf der rechten Seite. Den könnte man ja versuchen loszuwerden, z.B. so: Man definiert die Funktion



und bildet deren Ableitung

.

Unter diesem Aspekt ist jetzt die Behauptung äquivalent zu

,

was man durch vollständige Induktion über unter Nutzung partieller Integration links durchaus schaffen kann.


Gut möglich - sogar sehr wahrscheinlich - dass der Umweg über Potenzreihen gar nicht nötig ist, aber es war halt das erste, was mir einfiel. Wer Lust hat, kann das ja gern begradigen. Augenzwinkern
Kühlkiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent

,


Insgesamt ne feine Idee! Freude Hier passt's aber nicht so ganz.

Es gilt vielmehr:



Beweisen kann man das per Induktion. Hier ist der Induktionsschritt

Einerseits gilt:


und andererseits (mit partieller Integration):




Insgesamt folgt somit:



Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Gut möglich - sogar sehr wahrscheinlich - dass der Umweg über Potenzreihen gar nicht nötig ist, aber es war halt das erste, was mir einfiel. Wer Lust hat, kann das ja gern begradigen. Augenzwinkern


Okay, nachfolgend also der Versuch einer "Begradigung" und zwar jetzt nur in dem Sinne, dass man besser versteht, wo diese Ausdrücke alle herkommen... Ansonsten gibt's ja absolut nichts auszusetzen an deinem Lösungsvorschlag... Freude

Man berechnet dazu das Integral



auf zwei Arten und zwar

1. Durch partielle Integration.
2. Durch die Substitution

Die erste Art führt ohne Probleme auf eine einfache Rekursion und nach deren Auflösung weiter auf die linke Seite der zu beweisenden Formel... Die zweite Art ergibt zunächst den Ausdruck



der zwar vielleicht sogar "schöner", als der Originalausdruck auf der rechten Seite der zun beweisenden Gleichung, aber "rein formal" noch nicht mit diesem ident ist... Er kann aber in diesen leicht übergeführt werden, indem man noch 0 subtrahiert, allerdings in der etwas seltsam anmutenden Form



Ich hoffe, ich werde nicht öfter durch so wunderschöne Probleme in Versuchung geführt, sonst besteht die Gefahr, dass ich hier glatt wieder rückfällig werde... Augenzwinkern
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kühlkiste
Hier passt's aber nicht so ganz.

Was genau passt nicht? Forum Kloppe

Für hast du richtigerweise die Rekursion begründet. Das ist aber kein Grund, in der Folge die Augen vor



zu verschließen. unglücklich



@Mystic

Bei "Begradigung" hatte ich eigentlich an eine elementare Lösung ohne jedes Integral gedacht. Augenzwinkern
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
@Mystic

Bei "Begradigung" hatte ich eigentlich an eine elementare Lösung ohne jedes Integral gedacht. Augenzwinkern


Hm, und ich hätte gedacht, die Berechnung eines Integrals auf zwei Arten - einmal mit partieller Integration und einmal mit Substitution - wäre schon "elementar" genug und es dir in erster Linie darum ging, wie du ja auch selber schreibst, den "Umweg über Potenzreihen" zu vermeiden...

Aber macht nichts, die Aufgabe ist so wunderschön, dass ich auch so meine Freude daran habe... Augenzwinkern
 
 
Kühlkiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Zitat:
Original von Kühlkiste
Hier passt's aber nicht so ganz.

Was genau passt nicht? Forum Kloppe


Nickes! Da hab ich mich ganz einfach vertan - sorry!
Kühlkiste Auf diesen Beitrag antworten »

Übrigens:

Mit



folgt dann:

.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kühlkiste
Zitat:
Original von Arthur Dent
Zitat:
Original von Kühlkiste
Hier passt's aber nicht so ganz.

Was genau passt nicht? Forum Kloppe


Nickes! Da hab ich mich ganz einfach vertan - sorry!


Regel No.2 an Board: Wenn du meinst, eine Aussage von Arthur stimmt nicht, dann solltest du deine eigene Begründung mindestens noch 3mal durchgehend und ausgiebig prüfen. Erst dann posten. Augenzwinkern
Kühlkiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Regel No.2 an Board: Wenn du meinst, eine Aussage von Arthur stimmt nicht, dann solltest du deine eigene Begründung mindestens noch 3mal durchgehend und ausgiebig prüfen. Erst dann posten. Augenzwinkern


Yep, ich hätt's wissen müssen. Aber so gegen Mitternacht, da hat man schon mal Erscheinungen...

Ach ja, und wie lautet denn Regel No.1 an Board?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kühlkiste
Ach ja, und wie lautet denn Regel No.1 an Board?

Regel No.1: Chuck Norris legt die Regeln fest. Augenzwinkern
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kühlkiste
Ach ja, und wie lautet denn Regel No.1 an Board?


Such dir was aus. Arthur hat's ja auch schon gemacht. Augenzwinkern
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