Volumen eines Drehkörpers

21.10.2006, 14:54

mathpower

Volumen eines Drehkörpers

Die Funktion f ist gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} f(x)=4\sqrt{x}*e^{-\frac{1}{2}x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$

Ihr Schaubild sei K.

Die Kurve K, die Gerade x=0 mit u>0 und die x-Achse im Intervall[0;u] schließen eine Fläche ein, die um die x-Achse rotiert. Berechnen Sie das Volumen V(u) des Drehkörpers. Bestimmen Sie V= $\begin{eqnarray*} \lim_{u \to \infty } V(u) \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie dass es ein u0 mit 16<u<1,7 gibt für das V(u0)=0,5V ist.

Lösungsansatz: Das Volumen berechnt man ja so: V= $\begin{eqnarray*} \pi * \int_{0}^{u}~(f(u))²~du \end{eqnarray*}$ .

Mein Problem ist, ich habe keine Ahnung was raus kommen soll wenn ich (f(u))² mache. Außerdem wie lässt sich die ganze Sache dann integrieren?

21.10.2006, 14:57

sqrt(2)

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RE: Volumen eines Drehkörpers

Zitat:

Original von mathpower
Mein Problem ist, ich habe keine Ahnung was raus kommen soll wenn ich (f(u))² mache.

$\begin{eqnarray*} (4\sqrt{x}e^{-\frac{x}{2}})^2=4^2(\sqrt{x})^2(e^{-\frac{x}{2}})^2=16xe^{-x} \end{eqnarray*}$ (für $\begin{eqnarray*} x\geq0 \end{eqnarray*}$ )

Zitat:

Original von mathpower
Außerdem wie lässt sich die ganze Sache dann integrieren?

Partiell.

21.10.2006, 15:13

mathpower

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Wenn ich jetzt Integriere müsste doch das rauskommen: $\begin{eqnarray*} F(x)=- e^{-x} * 16x + 16*e^{-x} \end{eqnarray*}$ oder?

21.10.2006, 15:50

vektorraum

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Hi!

Yepp, wenn du gerechnet hast:

$\begin{eqnarray*} \int 16xe^{-x} dx=16\cdot e^{-x}-16x\cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$

stimmts! Und nimm mal für das Multiplikationszeichen den Befehl \cdot

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