Grenzwert unendlich minus unendlich

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05.03.2010, 17:44	ele5559	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert unendlich minus unendlich Hallo, ich komme nicht weiter bei der Berechnung des Grenzwertes folgender Funktion: $\begin{eqnarray} a_{n} = \sqrt{n^{2}+3n+1}-\sqrt{n^{2}+n} \end{eqnarray}$ Es in die beiden Wurzeln zu teilen brachte nichts, da ich dann Unendlich minus Unendlich hatte, also hab ich mit der 3.binomischen Formel erweitert und $\begin{eqnarray} \frac {n^{2}+3n+1-n^{2}+n} {\sqrt{n^{2}+3n+1}+\sqrt{n^{2}+n}} \end{eqnarray}$ bekommen. Scheint mir schon etwas besser, weil jetzt ist wenigsten das Minus weg. Mit Differenziern nach l'Hospital komm ich aber nicht weiter, da werden bei mir dei Wurzeln nur immer mehr Irgendwie denk ich das oben ist eh schon nah dran, weil ich hab oben 4n und unten 2 mal Wurzel aus n-Quadrat: das müßte man doch irgendwie zu 4/2 kürzen können -> 2 als Grenzwert würde mir nämlich richtig scheinen. Hat jemand Tipps für mich? Danke Ele
05.03.2010, 17:48	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig müsste es lauten $\begin{eqnarray} a_n = \frac {n^{2}+3n+1-n^2-n} {\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^{2}+n}} \end{eqnarray}$ Fasse erstmal den Zähler zusammen, anschließend klammere n aus dem Nenner aus.
05.03.2010, 19:00	ele5559	Auf diesen Beitrag antworten »
ah, cool, danke! mit den Plus und Minus hatte ich da ein Chaos im Latex: war eigentlich: $\begin{eqnarray} \sqrt{n^{2}+3n+1}-\sqrt{n^{2}-n} \end{eqnarray}$ wird zu: $\begin{eqnarray} \frac{n^{2}+3n+1-n^{2}+n}{\sqrt{n^{2}+3n+1}+\sqrt{n^{2}-n}} \end{eqnarray}$ zusammengefasst zu: $\begin{eqnarray} \frac{4n+1}{n\sqrt{1+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^{2}}}+n\sqrt{1-\frac{1}{n}}} \end{eqnarray}$ und das n dann gekürzt: $\begin{eqnarray} \frac{4+\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^{2}}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}}} \end{eqnarray}$ für n geht gegen Unendlich gehen die 1/n gegen Null: $\begin{eqnarray} \frac{4}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}=2 \end{eqnarray}$ Passt, oder Danke vielmals!
05.03.2010, 19:03	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »

05.03.2010, 19:09	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Iwas stimmt nicht ganz...vllt kann Q-fLaDeN helfen^^ ich komm grad nicht drauf :P Wenn ich negative Zahlen einsetzte wird das ganze negativ. Vermutung ist natürlich, dass für positives Zahlen, das ganze gegen 2 konvergiert, aber für x -> -unendlich muss es gegen -2 gehen! EDIT: Ich würds ja gern plotten :P bekomms aber net hin^^
05.03.2010, 19:39	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lim_{n \to -\infty}\sqrt{n^{2}+3n+1}-\sqrt{n^{2}-n} = \lim_{n \to \infty}\sqrt{(-n)^{2}+3(-n)+1}-\sqrt{(-n)^{2}-(-n)} = ... \end{eqnarray}$
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05.03.2010, 19:59	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh genau danke passt Aber mein Riecher war nicht ganz falsch :P
05.03.2010, 20:00	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei Folgen interessiert man sich allerdings nicht für negative n, zumindest nicht bei denen die ich bisher gesehen hab. Da man das direkt so umschreiben kann ist das auch nicht wirklich interessant.
05.03.2010, 20:01	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt...ich bin nur drauf gestoßen wegen der Überschrift unendlich und minus unendlich
05.03.2010, 20:05	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
"Grenzwert (unendlich minus unendlich)" $\begin{eqnarray} \infty - \infty \end{eqnarray}$ Das käme raus wenn man naiv beide Summanden seperat gegen unendlich streben lies.
05.03.2010, 20:09	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach jetzt hab ich auch den Sinn verstanden xD Danke dir Ifindu

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