Lebesgue - Integral definition

05.03.2010, 18:52	tohuwabou	Auf diesen Beitrag antworten »
Lebesgue - Integral definition Meine Frage: Hi, ich verstehe den Sinn der Definition des Lebesgue-Integrals, speziell der Unter- und Obersumme, nicht. Die Definition lautet : $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ Zerlegung des Bildbereichs $\begin{eqnarray} J:=[\inf_{\mathbb R^{n}} f,\sup_{\mathbb R^{n}} f] \end{eqnarray}$ einer bel. beschränkten Funktion $\begin{eqnarray} f:\mathbb R^n \rightarrow R \end{eqnarray}$ mit Zerlegungspunkten $\begin{eqnarray} \inf_{\mathbb R^{n}} f=y_o<...<y_N=\sup_{\mathbb R^{n}} f \end{eqnarray}$ .(Also das ist alles klar) Man setzt: $\begin{eqnarray} \underline S^{\star}_Z(f):=\sum_{j=1}^N y_{j-1} \lambda(M_j) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \overline S^{\star}_Z(f):=\sum_{j=1}^N y_{j} \lambda(M_j) \end{eqnarray}$ (Der Stern ist nur zu Unterscheidung von der Riemann Ober- und Untersumme) mit $\begin{eqnarray} M_j:=\{x \in \mathbb R^n : y_{j-1} \leq f(x) < y_j\},j=0,...,N-1 \end{eqnarray}$ , sowie $\begin{eqnarray} M_N:=\{x \in \mathbb R^n : y_{N-1} \leq f(x) \leq y_N\} \end{eqnarray}$ . Und nun untersucht man wann $\begin{eqnarray} \sup_{Z} \underline S^{\star}_Z(f) = \inf_Z \overline S^{\star}_Z(f) \end{eqnarray}$ . Wenn ich mir das an einem Beispiel (Skizze) verdeutlichen will, versteh ich den Sinn nicht. Was das Maß genau ist weiß ich allerdings auch noch nicht, aber ich stell es mir so vor als wäre es, wenn man jetzt eine Funktion von $\begin{eqnarray} \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ betrachtet, eine Funktion,die die Länge auf dem Definitionsbereich für jedes Teilintervall bestimmt . Warum werden zb bei der Untersumme nur die Teilintervalle von $\begin{eqnarray} y_0,...,y_{N-1} \end{eqnarray}$ betrachtet und bei der Obersumme die von $\begin{eqnarray} y_1,...,y_N \end{eqnarray}$ ? Nix kapischeee ^^ Danke Gruß Tohuwabou Meine Ideen: -
08.03.2010, 15:40	tohuwabou	Auf diesen Beitrag antworten »
Also vielleicht muss ich die Frage was präzisieren. Also beim Riemann-Integral ist es ja ganz anschaulich, dass wenn man die Feinheit der Zerlegung, also $\begin{eqnarray} \Delta Z \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ schickt, dass der Funktionsgraph dann unendlich nah angenähert wird. Soll das bei Lebesgue dann auch so ähnlich sein? Ich seh da nicht so wirklich die Parallelen oder was ist da der Grundgedanke?
08.03.2010, 20:56	Urza	Auf diesen Beitrag antworten »
Lies mal den Abschnitt "Henri Lebesgue über den Vergleich zwischen Riemann- und Lebesgue-Integral" im Wikipedia-Artikel zum Lebesgue-Integral Vielleicht wird es ja damit klarer?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »