Fehler in Abhängigkeit von n P(x) zu f(x)

05.03.2010, 22:37

pablosen

Fehler in Abhängigkeit von n P(x) zu f(x)

Hallo liebes Forum

Ich habe folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} f(x)=1/(1+x^2) \end{eqnarray*}$

und das interpolierende Polynom sei:
$\begin{eqnarray*} p(x) = 1-2.10974834842806e-015*x-0.999940137683328*x.^2+2.2180266588849e-013*x.^3+0.980784196348244*x.^4 \end{eqnarray*}$
errechnet aus 5 Stützstellen.

Nun muss ich den unten angehängten Fehler in Abhängigkeit von n in eine Tabelle eintragen für d=5.

Wie geht das jetzt?

Gibts da irgendwo auf dem Internet ev. ein verständliches Beispiel? Was muss ich da jetzt machen?

Versteh echt nur Bahnhof.
Grüsse&Thx
Pablo

06.03.2010, 00:55

tigerbine

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RE: Fehler in Abhängigkeit von n P(x) zu f(x)
Imho fehlt da ne Info. Die Funktion ist als "Beispiel von Runge" bekannt. Was mir fehlt ist das Intervall und die Definition der Stützstellen.

Für den Interpolationsfehler gilt dann

[WS] Polynominterpolation - Theorie

Man wird in diesem Beispiel feststellen sollen, dass Vergrößern von n auch den maximalen Fehler vergrößert.

Deine Formel werte ich so, man schaut Runge auf [-d,d] an. Dann Unterteilt man äquidistant und wertet die Differenzfunktion in diesen Punkten aus. Die Klammern sind irritierend. Das auswerten machst du mit dem Rechner.

06.03.2010, 11:57

pablosen

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RE: Fehler in Abhängigkeit von n P(x) zu f(x)
Hallo Tigerbine

Danke für das Feedback.
Das Gute zuerst:
Es ist mir klar, dass, je höher dieses n gewählt wird, umso grösser der Fehler letztens auf dem vorgegebenen Intervall wird.

Zitat:

Original von tigerbine
Imho fehlt da ne Info. Die Funktion ist als "Beispiel von Runge" bekannt. Was mir fehlt ist das Intervall und die Definition der Stützstellen.

Für den Interpolationsfehler gilt dann

[WS] Polynominterpolation - Theorie

Man wird in diesem Beispiel feststellen sollen, dass Vergrößern von n auch den maximalen Fehler vergrößert.

Deine Formel werte ich so, man schaut Runge auf [-d,d] an. Dann Unterteilt man äquidistant und wertet die Differenzfunktion in diesen Punkten aus. Die Klammern sind irritierend. Das auswerten machst du mit dem Rechner.

d ist 5
und die Stützstellen habe ich zu Hause, gerade kein Zugriff.

Ich habe also bereits äquidistant unterteilt, aber wie mache ich das:

Zitat:

wertet die Differenzfunktion in diesen Punkten aus. Die Klammern sind irritierend. Das auswerten machst du mit dem Rechner.

Ich rechne einfach das I.Polynom minus die Funktion. Und dann?

Fragen zu deinem Link:
Was heisst:
[latex] xi_x [\latex]
... was ist da einzusetzen?

Heisst (latex) f^{n+1} (/latex) "f hoch (n+1)" (wie man es im Gymi lernt) oder was heisst das?

Dr von dir gepostete Link scheint wohl das verständlichste Beispiel zu sein (?)....

Würde gerne selber auf die Funktion kommen.
Grüsse
Pablo

edit: (latex) x (/latex) mit eckigen Klammern scheint hier nicht zu gehen, hmm

06.03.2010, 14:51

pablosen

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Hallo

Die ganze Aufgabe findest du hier:

http://www.matheboard.de/attachment.php?attachmentid=13743
(ev. Threads mergen?)

Vgl. Bild: Das E5_8 ist bei mir einfach Betrag(p5_8-f(x)). Okay, soweit, so gut.

In den Stützstellen ist der Fehler natürlich = 0 und der grösste Fehler natürlich bei den äussersten "Runden".

Als Maximum bekomme ich mit max() und dieser e5_8-Funktion = 1.0451739117836. Wie ich das in eine Tabelle eintrage, weiss ich auch (hoho!).

Aber wie implementiere ich jetzt dieses 1000 rechts in der Formel? Die Stützstellen beziehen sich ja immer nur auf ein gewisses n, welches (gemäss Aufgabenstellung siehe oben) 2,4,6,8 oder 10 ist, jedoch nie 1000.

Wie implementiere ich jetzt also dieses 1000 ?

Büdde um Hilfe.
Grüsse

06.03.2010, 20:13

pablosen

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Also wenn ich die 1.Klammer einfach mal die 2.Klammer rechne, dann kommt bei mir folgendes raus (z sind die jeweiligen Funktionswerte zu n, also für n=2 wärs z2):

code:
1:	z2 = 3.23115270602972 >> z4 = 2.19178999304063 >> z6 = 3.08474578785329 >> z8 = 5.2258929611134 >> z10 = 9.57831317049402

Kann mit ev. jmd. einen Tipp geben, warum dass bei n=2 der Fehler grösser ist als bei n=4 und n=6 ?

Grüsse

07.03.2010, 20:52

pablosen

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Nachdem nun einige Kollegen das anders gemacht haben folgende Frage:

Dieses E ist schon die Differenzfunktion * (=MAL) die zweite Klammer oder?

Dieses E ist NICHT einfach NUR die Differenzfunktion. Oder was meint ihr?

07.03.2010, 22:44

tigerbine

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Du hast die Differenzfunktion

$\begin{eqnarray*} f-p_{d,n} \end{eqnarray*}$

Dabei ist d das Intervall und n der Polynomgrad des Interpolationspolynoms von f. Ausgewertet wird die in den äquidistanten Stellen

$\begin{eqnarray*} x_i=-d + \frac{2d}{1000}i \end{eqnarray*}$

Und darüber wird maximiert. Näherung für den Maximalen Interpolationsfehler. Wichtig ist, bei konvergenz müßte der ja kleiner werden. Hier wird er größer.

07.03.2010, 22:51

pablosen

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Zitat:

Original von tigerbine
Du hast die Differenzfunktion

$\begin{eqnarray*} f-p_{d,n} \end{eqnarray*}$

Dabei ist d das Intervall und n der Polynomgrad des Interpolationspolynoms von f. Ausgewertet wird die in den äquidistanten Stellen

$\begin{eqnarray*} x_i=-d + \frac{2d}{1000}i \end{eqnarray*}$

Und darüber wird maximiert. Näherung für den Maximalen Interpolationsfehler. Wichtig ist, bei konvergenz müßte der ja kleiner werden. Hier wird er größer.

Ah okay. Warum steht das aber mitten in der Funktion? Wieso können die nicht einfach hinschreiben: Bitte an ... Stellen auswerten.

07.03.2010, 22:52

tigerbine

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Es steht in der max! Aufforderung drinnen. Augenzwinkern

08.03.2010, 09:37

pablosen

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Zitat:

Original von tigerbine
Es steht in der max! Aufforderung drinnen. Augenzwinkern

Es steht unterhalb dieser Forderung, was i ist. Es steht aber nichts, dass die 2te Klammer die Auswertungsmenge bezeichnet. Ausserdem steht die grosse Klammer ja innerhalb der Funktion.

Also bisher habe ich das immer so interpretiert, dass dies dann zur Funktion gehört.

Gibts da irgendein Leitfaden, wie ich das künftig interpretieren kann? Warum diese 2te grosse Klammer die Auswerte-menge bezeichnet?

08.03.2010, 15:38

tigerbine

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Nein, da gibt es keinen Leitfaden, aber alles andere macht keinen Sinn. Funktionsvorschriften schreibt man mit f(x). Das wird hier nun aufgebläht. Die Größe der hinteren Klammer rührt nur von dem Bruch und Latex her.

08.03.2010, 16:50

pablosen

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Zitat:

Original von tigerbine
Nein, da gibt es keinen Leitfaden, aber alles andere macht keinen Sinn. Funktionsvorschriften schreibt man mit f(x). Das wird hier nun aufgebläht. Die Größe der hinteren Klammer rührt nur von dem Bruch und Latex her.

In diesem Bild aber:

http://www.matheboard.de/attachment.php?attachmentid=13769

steht nichts von f(x). Wo siehst du da f(x)?

08.03.2010, 16:51

tigerbine

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Bitte lies doch genau was ich schreibe.

Zitat:

Funktionsvorschriften schreibt man mit f(x). Das wird hier nun aufgebläht.

die erste Kammer steht eben für die Differenfunktion h:=(f-p). In der zweiten kommt dann das "x" rein.

08.03.2010, 17:07

pablosen

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Zitat: