integral von 1/(x*sqrt(a^2+x^2)) wie lösen

06.03.2010, 10:02

Nautilus85

integral von 1/(x*sqrt(a^2+x^2)) wie lösen

hallo wie löst man dieses integral 1/(x*sqrt(a^2+x^2))? hab es schon mit substitution versucht komme aber nicht auf das was rauskommen soll. weiß nicht mehr weiter

bitte um hilfe

06.03.2010, 11:44

corvus

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RE: integral von 1/(x*sqrt(a^2+x^2)) wie lösen

Zitat:

Original von Nautilus85
hallo wie löst man dieses
integral [1/(x*sqrt(a^2+x^2)]*dx ?
hab es schon mit substitution versucht komme
aber nicht auf das was rauskommen soll. weiß nicht mehr weiter

bitte um hilfe

? ..hast du es auch schon mit dieser Substitution versucht:

$\begin{eqnarray*} u = \sqrt{ a^2 + x^2} \end{eqnarray*}$

smile

07.03.2010, 08:21

Nautilus85

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RE: integral von 1/(x*sqrt(a^2+x^2)) wie lösen
So das Integral
$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{x*\sqrt{a^2+x^2} } \, dx \end{eqnarray*}$

hab ich auch schon mit deinem Vorschlag lösen versucht es kommt aber nicht das raus was rauskommen soll.

rauskommen soll

$\begin{eqnarray*} \frac{ln\left(\frac{{\sqrt{x^2+a^2}}-a}{x}\right)} {a} \end{eqnarray*}$

bei der substitution mit deinem vorschlag bekomme ich

$\begin{eqnarray*} \frac{ln(\sqrt{a^2+x^2})*\sqrt{x^2+a^2} }{x^2} \end{eqnarray*}$ heraus

07.03.2010, 10:14

corvus

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RE: integral von 1/(x*sqrt(a^2+x^2)) wie lösen

Zitat:

Original von Nautilus85
So das Integral
$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{x*\sqrt{a^2+x^2} } \, dx \end{eqnarray*}$

hab ich auch schon mit deinem Vorschlag lösen versucht
es kommt aber nicht das raus was rauskommen soll. geschockt

aber vielleicht hast du ja in deiner Rechnung einen
Fehler eingebaut ? ..und das kann man ja so hier nicht sehen...

kommst du mit der Substitution auf ein solches Integral? ->

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{u^2-a^2} \, du \end{eqnarray*}$

und nebenbei:
dein "erwartetes" Ergebnis kann man problemlos durch kleine
Umformungen optisch anders darstellen und so, falls nötig,
auch noch dem berechneten Ergebnis (in der Form) "anpassen" .. smile

07.03.2010, 12:34

Nautilus85

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Integral
$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{x*\sqrt{a^2+x^2} } \, dx \end{eqnarray*}$

so die Substitution

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{x*u} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=\sqrt{x^2+a^2} \end{eqnarray*}$

Die Ableitung davon:
$\begin{eqnarray*} u'=\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'=\frac{du}{dx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=\frac{du}{u'} \end{eqnarray*}$

Einsetzen :

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{x*u}*\frac{1}{\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2} } } \, du \end{eqnarray*}$

und ausrechen ergibt

$\begin{eqnarray*} \frac{ln(\sqrt{a^2+x^2})*\sqrt{x^2+a^2} }{x^2} \end{eqnarray*}$

wie du bei der Substitution auf $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{u^2-a^2} \, du \end{eqnarray*}$ kommst ist mir ein rätsel oder verstehe ich da was nicht

07.03.2010, 13:03

Mulder

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RE: integral von 1/(x*sqrt(a^2+x^2)) wie lösen
Weil corvus gerade wohl nicht online ist:

Zitat:

Original von Nautilus85
Einsetzen :

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{x*u}*\frac{1}{\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2} } } \, du \end{eqnarray*}$

Bis hierhin ist alles noch prima. Den Doppelbruch noch eliminieren:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{x \cdot u} \, \, \cdot \, \frac{\sqrt{x^2+a^2}}{x} \, \, \, \dd u = \int \frac{1}{x \cdot u} \, \, \cdot \, \frac{u}{x} \, \, \, \dd u = \int \frac{1}{x^2} \, \dd u \end{eqnarray*}$

Jetzt noch einsetzen (gemäß deiner Substitution):

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+a^2} = u \quad \Rightarrow \quad x^2 = \, ? \end{eqnarray*}$

Führt genau auf das, was corvus angegeben hat. Dem könnte man nun mit einer kleinen PBZ zuleibe rücken.

07.03.2010, 20:54

Nautilus85

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RE: integral von 1/(x*sqrt(a^2+x^2)) wie lösen
Hey ja super jetzt hat es funktioniert

danke für die Hilfe Augenzwinkern

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