Lagebeziehung Ebene - Ebenenschar (ohne Normalenform)

06.03.2010, 11:43

tabeditabedu

Lagebeziehung Ebene - Ebenenschar (ohne Normalenform)

Meine Frage:
Für welchen Wert von a sind

$\begin{eqnarray*} Ea: (3+a)x+2y+az=14 \ \ \ \ ,aER \end{eqnarray*}$

und
$\begin{eqnarray*} G:\vec{x} =\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +r \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +s \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

echt parallel?

Da die Aufgabe noch vor dem Thema der Ebnen in Normalenform aufgeführt ist, sollte sie ja irgendwie anderweitg lösbar sein nur weis ich nicht wie...

Meine Ideen:
Kriterium für echt parallele Ebnen: Gleichung nicht lösbar.

1.Koordinaten von G:

$\begin{eqnarray*} x=3+2r-2s \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=1 \ \ \ \ \ \ \ \ +3s \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z= \ \ \ \ \ \ \ \ r+2s \end{eqnarray*}$

2.Einsetzen in die Koordintengleichung ( $\begin{eqnarray*} Ea \end{eqnarray*}$ ):

$\begin{eqnarray*} (3+a)*(3+2r-2s)+2(1+3s)+1(r+2s)=14 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (6+3a)r+3a \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =14 \end{eqnarray*}$

Scheint wohl der falsche Ansatz zu sein oder ich hab mich irgendwo verrechnet...

06.03.2010, 11:54

riwe

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RE: Lagebeziehung Ebene - Ebenenschar (ohne Normalenform)
einfacher wäre sicher, den normalenvektor von G zu bestimmen
(über das vektorprodukt oder ein lgs mit dem skalarprodukt)

$\begin{eqnarray*} \vec{n}=(1,2,-2)^T \end{eqnarray*}$

womit es dir nun sicher nicht schwer fallen wird, a zu bestimmen.
wobei es noch zu überprüfen gilt, ob die beiden ebenen nicht identisch sind Augenzwinkern

06.03.2010, 11:58

tabeditabedu

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RE: Lagebeziehung Ebene - Ebenenschar (ohne Normalenform)
Ja so ist es kein Problem. Freude

Mich wundert nur, dass die Aufgabe vor der Einheit Skalarprodukt/Vektorprodukt / Ebenen in Normalenform gestellt wurde.
Deswegen dachte ich, da gibt es einen weg. Dann werd ich die einfach auf die einfache Variante lösen Big Laugh

DANKE

06.03.2010, 12:18

riwe

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RE: Lagebeziehung Ebene - Ebenenschar (ohne Normalenform)
dein obiger ansatz ist schon richtig
(aber du hast dich verrechnet)

ich bekomme:

$\begin{eqnarray*} r=\frac{3-a}{a+2} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

06.03.2010, 12:41

tabeditabedu

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RE: Lagebeziehung Ebene - Ebenenschar (ohne Normalenform)
Auf meinem Blatt hab ich hinter dem letzten = $\begin{eqnarray*} (6+3a)r+3a= 14 \end{eqnarray*}$ auch eine 3 stehen und komme dann durch umformen auch auf das Ergebnis (Vertippt Big Laugh

).

Nur für welchen Wert von a sind die dann parallel?

Für a=-2 (weil man nicht durch 0 teilen darf)?

06.03.2010, 12:45

riwe

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RE: Lagebeziehung Ebene - Ebenenschar (ohne Normalenform)

Zitat:

Original von tabeditabedu
Auf meinem Blatt hab ich hinter dem letzten = $\begin{eqnarray*} (6+3a)r+3a= 14 \end{eqnarray*}$ auch eine 3 stehen und komme dann durch umformen auch auf das Ergebnis (Vertippt Big Laugh

).

Nur für welchen Wert von a sind die dann parallel?

Für a=-2 (weil man nicht durch 0 teilen darf)?

genau deshalb Freude

06.03.2010, 12:50

tabeditabedu

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RE: Lagebeziehung Ebene - Ebenenschar (ohne Normalenform)
Wunderbar. nochmals Danke ! smile

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