Vektoren als Linearkombination darstellen :/

06.03.2010, 12:47

Zerrox

Vektoren als Linearkombination darstellen :/

Hi Leute,

ich soll folgende Aufgabe als Linearkombination darstellen..

13. Stellen Sie den Vektor als Linearkombination der Vektoren $\begin{eqnarray*} ( 1 | 0 | 0 ) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} ( 1 | 1 | 0 ) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} ( 1 | 1 | 1 ) \end{eqnarray*}$ dar.

a) $\begin{eqnarray*} ( 2 | 4 | 1 ) \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} ( 7 | 5 | 1 ) \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} ( -2 | 5 | 13 ) \end{eqnarray*}$
d) $\begin{eqnarray*} ( 0 | 5 | -5 ) \end{eqnarray*}$
e) $\begin{eqnarray*} ( 0 | 0 | 0 ) \end{eqnarray*}$
f) $\begin{eqnarray*} ( 3 | 9 | 12 ) \end{eqnarray*}$
g) $\begin{eqnarray*} ( 17 | 12 | -11 ) \end{eqnarray*}$
h) $\begin{eqnarray*} ( 20 | 30 | 45 ) \end{eqnarray*}$

Könnt ihr mir bitte Tipps geben, wie ich diese Aufgabe lösen soll?
Ich habe nämlich auch keinen Plan, was überhaupt mit der Aufgabenstellung gemeint ist. verwirrt

Danke schon einmal im Voraus!

06.03.2010, 13:01

turbojunge

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RE: Vektoren als Linearkombination darstellen :/
Hallo,

ich nehme an, dass die Vektoren Elemente eines $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraums sind.

Bei Beispiel a müsstest Du demnach Elemente $\begin{eqnarray*} a, b, c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ finden mit

$\begin{eqnarray*} a*(1 | 0 | 0) + b*(1 | 1 | 0) + c*(1 |1 |1) = (2 | 4 | 1) \end{eqnarray*}$ ,

was prinzipiell darauf hinausläuft, ein lineares Gleichungssystem zu lösen...

06.03.2010, 13:08

Zerrox

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RE: Vektoren als Linearkombination darstellen :/

Zitat:

Original von turbojunge
Hallo,

ich nehme an, dass die Vektoren Elemente eines $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraums sind.

Bei Beispiel a müsstest Du demnach Elemente $\begin{eqnarray*} a, b, c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ finden mit

$\begin{eqnarray*} a*(1 | 0 | 0) + b*(1 | 1 | 0) + c*(1 |1 |1) = (2 | 4 | 1) \end{eqnarray*}$ ,

was prinzipiell darauf hinausläuft, ein lineares Gleichungssystem zu lösen...

Hi,

also danke erst einmal für deine Antwort! Freude

Ja, also die Vektoren sind alles Elemente eines $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraums.

Das heißt also, ich multipliziere die Variablen a, b, c mit den drei Vektoren und stelle es dann als Matrix-Schema dar? Und dann einfach mit dem Gauß-Eliminierungsverfahren lösen, richtig?

Nun, wenn ich jetzt aber a mit 0 multipliziere, kommt da ja a*0 heraus, und das kann ja irgendwie nicht sein, oder?

MfG

06.03.2010, 13:13

turbojunge

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Hi,

ok, $\begin{eqnarray*} a*0 = 0 \end{eqnarray*}$ . Das würde doch bedeuten, dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ in der zweiten und dritten Zeile des Gleichungssystems nicht auftaucht, was die Sache eher einfacher macht smile

06.03.2010, 13:24

Zerrox

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Hey,

okay, danke. smile

Dann könnte ich doch theoretisch auch einfach die drei gegebenen Vektoren so aufstellen, dass ich automatisch die Stufenform erhalte, oder?

Ich meine das so:

2 = a + b + c
4 = 0*a + b + c
1 = 0*a + 0*b + c

Und dann halt immer nur die linke Seite des Gleichungssystems ändern für die jeweiligen Aufgaben. Müsste doch klappen, oder? smile

06.03.2010, 13:35

turbojunge

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Hi,
ja, so sollte es klappen smile

Ich muss jetzt los, viel Erfolg bei der Aufgabe! Wink

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