Beweis mit Fourierreihe

06.03.2010, 14:42

bluenote

Beweis mit Fourierreihe

Hallo,

ich sitze gerade an folgender Aufgabe:
Man zeige:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6 \end{eqnarray*}$
Hinweis: Man betrachte die Fourierreihe von $\begin{eqnarray*} f(x) = x \quad \text{für } x \in [-\pi, \pi] \end{eqnarray*}$ (f ist $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ -periodisch).

Die Fourierreihe habe ich bestimmt:
$\begin{eqnarray*} F_Nf(x) = \sum_{k=1}^N (-1)^{k+1} \frac{2 \sin(kx)}k \end{eqnarray*}$

Ich bräuchte noch ein Hinweis wie ich den Hinweis benutzen kann, ich habe keine Idee wie man damit die Aussage zeigen kann.

06.03.2010, 15:42

giles

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Hab gehört, $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}, \sin(nx) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos(nx) \end{eqnarray*}$ bilden ein vollständiges Orthonormalsystem. Da gibts doch was von Parseval...

06.03.2010, 17:51

WebFritzi

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RE: Beweis mit Fourierreihe

Zitat:

Original von bluenote
Hinweis: Man betrachte die Fourierreihe von $\begin{eqnarray*} f(x) = x \quad \text{für } x \in [-\pi, \pi] \end{eqnarray*}$ (f ist $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ -periodisch).

Der Hinweis ist irreführend. Betrachte lieber die Fourierreihe (übrigens nicht nur das Fourierpolynom) von f(x) = x² auf demselben Intervall. Wenn du das gemacht hast, ermittle, für welche x sie konvergiert. Dafür gibt es bestimmte Sätze. In den Konvergenzpunkten x gilt dann also

$\begin{eqnarray*} x^2 = \frac{a_0} 2 + \sum_{k=1}^\infty\,a_k\cos(kx). \end{eqnarray*}$

Setze da einige (einfache) Konvergenzpunkte x ein. Irgendwann (vielleicht ja schon beim ersten Versuch) gelingt dir dann ein Treffer. Augenzwinkern

06.03.2010, 18:06

giles

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Hier muss ich aber widersprechen, WebFritzi. Er muss nur noch die Parsevalsche Gleichung verwenden und es steht schon da.
Ich sehe nicht wo der Sinn darin liegt die Gesamtarbeit zu verdoppeln indem man mit einer ganz anderen Funktion an der Aufgabe vorbeirechnet...

06.03.2010, 18:26

WebFritzi

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Gut, das geht auch. Jetzt verstehe ich, wie du das meinst. Dann muss ich dich an einer Stelle trotzdem korrigieren:

Zitat:

Original von giles
Hab gehört, $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}, \sin(nx) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos(nx) \end{eqnarray*}$ bilden ein vollständiges Orthonormalsystem.

Die sind nicht normiert. Du meinst das System

$\begin{eqnarray*} \left\{ \frac 1 {\sqrt{2\pi}}, \,\frac 1 {\sqrt{\pi}}\cos(nx), \,\frac 1 {\sqrt{\pi}}\sin(nx)\right\}. \end{eqnarray*}$

Fazit: Wenn man Parseval kennt und weiß, dass obiges System eine ONB des L² darstellt, dann kann man den Hinweis verwenden. Wenn man eher die Konvergenzsätze von Fourierreihen kennt, dann ist man mit dem von mir angegebenen Ansatz gut beraten.

Zitat:

Original von giles
Ich sehe nicht wo der Sinn darin liegt die Gesamtarbeit zu verdoppeln indem man mit einer ganz anderen Funktion an der Aufgabe vorbeirechnet...

Wenn du meinen Ansatz verstanden hättest, dann wüsstest du, dass man mitnichten an der Aufgabe vorbeirechnet. Vielleicht meintest du ja aber, dass man am Hinweis (der nicht Teil der Aufgabe ist) vorbeirechnet.

06.03.2010, 18:54

giles

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1. Bezüglich $\begin{eqnarray*} \langle f\vert g\rangle := \frac{1}{\pi} \int^{\pi}_{-\pi} \overline{f(x)}g(x) \dx \end{eqnarray*}$ sind sie normiert.
2. Offensichtlich kennen sie die Parsevalsche Gleichung: Wie sonst soll der vorgegebene Tipp zum Ziel führen? In welcher Vorlesung würde man überhaupt Fourierreihen machen ohne vorher Hilberträume und v.o.n.S. eingehend zu diskutieren? Sonst versteht man doch garnichts.
3. Natürlich habe ich deinen Ansatz verstanden, sogar schon mehrmals selbst berechnet. Ob der Hinweis zur Aufgabe gehört - darüber könnte man sich streiten. Fakt bleibt aber, dass es mehr Arbeit ist. Augenzwinkern

06.03.2010, 19:21

WebFritzi

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Zitat:

Original von giles
1. Bezüglich $\begin{eqnarray*} \langle f\vert g\rangle := \frac{1}{\pi} \int^{\pi}_{-\pi} \overline{f(x)}g(x) \dx \end{eqnarray*}$ sind sie normiert.

OK, da sind wir uns einig. smile

Zitat:

Original von giles
2. Offensichtlich kennen sie die Parsevalsche Gleichung: Wie sonst soll der vorgegebene Tipp zum Ziel führen?

Es kann ja sein, dass das Quadrat vergessen wurde. Also x statt x².

Zitat:

Original von giles
In welcher Vorlesung würde man überhaupt Fourierreihen machen ohne vorher Hilberträume und v.o.n.S. eingehend zu diskutieren? Sonst versteht man doch garnichts.

Oh, da kenne ich einige. Zum Beispiel ist das in den Ingenieursvorlesungen fast immer so. Und die Aufgabe von oben (mit x²) und andere dieses Typus' sind dort Standard. Desweiteren führt der Königsberger z.B. die Fourierreihen in seinem Buch über Analysis I ein. Da hat der Leser noch keine Ahnung von Lebesgue'scher Integration und dem L²-Raum (von abstrakten Hilberträumen ganz zu schweigen). Es wird dort dann stattdessen von "Konvergenz im quadratischen Mittel" gesprochen.

Zitat:

Original von giles
Ob der Hinweis zur Aufgabe gehört - darüber könnte man sich streiten.

Darüber braucht man sich nie zu streiten. Ein Hinweis ist als ein solcher zu sehen und soll bei der Bearbeitung der Aufgabe helfen. Wenn man ihn nicht benutzen will, ist man selber schuld. Kann ja auch sein, dass man einen einfacheren Weg gefunden hat.

Zitat:

Original von giles
Fakt bleibt aber, dass es mehr Arbeit ist. Augenzwinkern

OK, gut - eine partielle Integration mehr... Die hebt sich aber wieder auf durch die Berechnung des Integrals für die L²-Norm bei deiner Methode (welches zugegebenermaßen ziemlich einfach ist). Ich finde nicht, dass man bei meiner Methode viel mehr Arbeit hat.

Außerdem ist es IMHO ziemlich kleinkariert, hier darüber zu streiten, welche Methode nun besser ist. Beide benutzen verschiedene Tatsachen und sind daher gleichberechtigt - je nachdem, was der Bearbeitende schon weiß.

06.03.2010, 19:27

bluenote

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Ui, ihr habt ja viel und schnell geschrieben smile

Vielen Dank giles, mit der Parsevalschen Gleichung hatte ich es tatsächlich direkt.

Zitat:

Original von WebFritzi
Setze da einige (einfache) Konvergenzpunkte x ein. Irgendwann (vielleicht ja schon beim ersten Versuch) gelingt dir dann ein Treffer. Augenzwinkern

So habe ich es dann auch noch probiert mit $\begin{eqnarray*} x=\frac{\pi}2 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von giles
In welcher Vorlesung würde man überhaupt Fourierreihen machen ohne vorher Hilberträume und v.o.n.S. eingehend zu diskutieren? Sonst versteht man doch garnichts.

In der Vorlesung Analysis 1. Wir hatten die Parsevalsche Gleichung in der Vorlesung aber keine Hilberträume und keine Orthonormalsysteme (das was ihr dazu geschrieben habt hab ich somit nicht verstanden).

Also herzlichen Dank für eure Tipps.
liebe Grüße bluenote

Edit: Während ich geschrieben habe kam gerade der Post von WebFritzi dazu. Wir hatten in der Vorlesung "Konvergenz im quadratischen Mittel".

06.03.2010, 19:34

WebFritzi

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Zitat:

Original von bluenote
So habe ich es dann auch noch probiert mit $\begin{eqnarray*} x=\frac{\pi}2 \end{eqnarray*}$

Damit kommst du nicht weit. x = pi passt besser. Augenzwinkern

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