Integralfunktion bestimmen, Unterschied Integralfunktion Integrandenfunktion

06.03.2010, 18:55

Duude

Integralfunktion bestimmen, Unterschied Integralfunktion Integrandenfunktion

Hallo,
ich habe die Integrandenfunktion $\begin{eqnarray*} f(t)=(t+2)^2 \end{eqnarray*}$ gegeben und soll die Integralfunktion $\begin{eqnarray*} J_0 \end{eqnarray*}$ davon bestimmen.

Jetzt bin ich mir nicht sicher, ob ich das richtig verstanden habe.

Ich würde das so berechnen:

$\begin{eqnarray*} \int_0^x (t+2)^2 dt= [\frac{1}{3}(t+2)^3]_0^x=\frac{1}{3}(x+2)^2 \end{eqnarray*}$

Sehe ich das richtig, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}(x+2)^3 \end{eqnarray*}$ dann die Integralfunktion ist?

Ich habe nämlich noch ein wenig Schwierigkeiten mit der Integralfunktion und der Integrandenfunktion.

Die Integrandenfkt ist also die Funktion, die unter dem Integral steht. Sie gibt an, wie die Kurve verläuft.

Da die obere Grenze aber nicht fest ist, kann ich die Integralfunktion berechnen. Dabei gibt der Index hier also $\begin{eqnarray*} J_0 \end{eqnarray*}$ an, was die untere Grenze ist, hier also 0. Ich gehe also von 0 bis x im Integral. Und die Integralfunktion gibt mir den Flächeninhalt in Abhängigkeit von x an.

Wenn ich also jetzt sage, sei x=5, dann kann ich das einfach in die Integralfunktion einsetzen und erhalte

$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{3}(5+2)^3=\frac{343}{3} \end{eqnarray*}$

Stimmen meine Überlegungen so?

Gruß,
Duude

06.03.2010, 19:01

pmw65q

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RE: Integralfunktion bestimmen, Unterschied Integralfunktion Integrandenfunktion
hmmm für welche klasse sind denn diese aufgaben denn?

06.03.2010, 19:09

Verdruss

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Zumindest ich kann keinen Fehler darin erkennen, müsste so richtig sein.

Ich glaube, ihr bearbeitet gerade sogar genau das gleiche Mathebuch wie wir smile

06.03.2010, 19:25

Duude

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Das Buch ist der Lambacher Schweizer für die 12. Klasse. Ich glaub auch noch für die 13.

06.03.2010, 19:35

corvus

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RE: Integralfunktion bestimmen, Unterschied Integralfunktion Integrandenfunktion

Zitat:

Die Integrandenfkt ist also die Funktion, die unter dem Integral steht smile

genau .. in deinem Beispiel also
$\begin{eqnarray*} f(t)=(t+2)^2 \end{eqnarray*}$

dazu gehört dann das "unbestimmte Integral"
$\begin{eqnarray*} \int f(t) dt = F(t) + C \end{eqnarray*}$

F(t) + C sind dann die Stammfunktionen ; für diese gilt : ( F(t) + C ) ' = f(t)

ein bestimmtes Integral berechnest du mit der Ordinatendifferenz einer Stammfunktion:
$\begin{eqnarray*} \int_a^b f(t) dt= F(b) - F(a) \end{eqnarray*}$

wenn nun bei einem bestimmten Integral die untere Grenze fest , aber die
obere Grenze variabel ist , dann bekommst du eine Integralfunktion:

$\begin{eqnarray*} I(x) = \int_a^x f(t) dt \end{eqnarray*}$

bei deinem Beispiel hast du diese Integralfunktion dann falsch berechnet:

$\begin{eqnarray*} \int_0^x (t+2)^2 dt= [\frac{1}{3}(t+2)^3]_0^x=\frac{1}{3}(x+2)^2 \end{eqnarray*}$ geschockt

06.03.2010, 19:42

Duude

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Danke erstmal für deine Erklärungen.

Zitat:

bei deinem Beispiel hast du diese Integralfunktion dann falsch berechnet:

$\begin{eqnarray*} \int_0^x (t+2)^2 dt= [\frac{1}{3}(t+2)^3]_0^x=\frac{1}{3}(x+2)^2 \end{eqnarray*}$

oh, da hast du Recht.. da habe ich mich vertippt... Statt der hoch 2 muss da natürlich ein hoch 3 stehen. Oh, und dann habe ich den zweiten Teil auch noch vergessen. Die null fällt eingesetzt ja nicht einfach weg.

Also richtig:

$\begin{eqnarray*} \int_0^x (t+2)^2 dt= [\frac{1}{3}(t+2)^3]_0^x=\frac{1}{3}(x+2)^3-\frac{1}{3}(0+2)^3=\frac{1}{3}(x+2)^3-\frac{8}{3} \end{eqnarray*}$

Ich setze im letzten Schritt ja nur noch die obere und die untere Grenze ein.

Müsste jetzt stimmen, oder?

Ich habe bei der Stammfunktion jetzt einfach mal C=0 angenommen. Das ist ja auch eine mögliche Stammfunktion. Und es war nicht näher beschreiben, welche Stammfunktion gesucht ist.

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