Quadratische Gleichungen

21.10.2006, 16:21

Lena159

Quadratische Gleichungen

Hallo,
Ich bin auf einem Wirtschaftsgymnasium in der 11. Klasse (War davor auf einer Realschule) und bin in Mathe nicht gerade die Beste, sodass ich bei diesen Aufgaben einfach nichtmehr weiterkomme. Wäre schön wenn eine, der von mir gestellten Aufgaben (die von mir falasch oder gar nicht gelöst werden konnten) ausführlich gelöst werden könnte um mir den Lösungsweg offensichtlich zu machen.

Lösen Sie die quadratischen Gleichungen nach x auf.
a) $\begin{eqnarray*} x²-\frac{a²}{2}=0 \end{eqnarray*}$

Mein Ergebnis: $\begin{eqnarray*} x1,2=\frac{a}{2} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} 4-4x²=0 \end{eqnarray*}$

Mein Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} x1=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x2=-1 \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x²-2t=0 \end{eqnarray*}$

Mein Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} x1=2t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x2=-2t \end{eqnarray*}$

d) $\begin{eqnarray*} x(x+t)=1 \end{eqnarray*}$

Mein Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} x1= \frac{t²-t+4}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x2= \frac{t²+t+4}{2} \end{eqnarray*}$

f) $\begin{eqnarray*} 2tx²+tx-t=0 \end{eqnarray*}$

Mein Ergebnis:
leider keines

g) $\begin{eqnarray*} x²-2tx+6t=3x \end{eqnarray*}$

Mein Ergebnis:
leider keines

h) $\begin{eqnarray*} x²-4tx+3t²=0 \end{eqnarray*}$

Mein Ergebnis:
leider keines

i) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4t}x²-t=0 \end{eqnarray*}$

Mein Ergebnis:
leider keines

Für welche Wahl des Parameters a hat die gleichung genau eine Lösung?

Verstehe die Aufgabenstellung irgentwie nicht unglücklich

a) $\begin{eqnarray*} 3x²+ax-a=0 \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} ax²+\frac{a}{2}x-1=0 \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{(1+x)²}+{1}{(a-x)²}=0 \end{eqnarray*}$

Hoffe auf Hilfe. Vielen Dank

MfG
Lena

21.10.2006, 16:27

pseudo-nym

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Also allgemein funktioniert das bei diesem Typ von Gleichung so:
1. alles was nicht mit x behaftet ist auf die andere Seite bringen.
2. durch eventuelle Faktoren von x teilen.
3. auf beiden Seiten wurzeln

a) stimmt nicht. Potenzgesetze beachten: $\begin{eqnarray*} \left(\frac{a}{b}\right)^x=\frac{a^x}{b^x} \end{eqnarray*}$

b) sieht gut aus

c) braucht auch noch Potenzgesetze

und ab d) musst du dann erst in die Normalform $\begin{eqnarray*} ax^2+bx+c=0 \end{eqnarray*}$ bringen und dann die Mitternachtsformel anwenden (die Aufgaben muss ich aber erst noch nachrechnen.)

und wenn ich gerade beim editieren bin: eine quadratische Gleichung hat genau dann nur eine Lösung, wenn ihre Diskriminante gleich Null ist.

21.10.2006, 16:29

Apokalypse

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Ich hab nur die a) vom ersten Teil nachgerechnet und dein Ergebnis stimmt nicht! Poste doch einfach mal deinen Lösungsweg, dann kann man nämlich sehen, wo es hängt Augenzwinkern

21.10.2006, 16:36

Lena159

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Lösungsweg für a)

$\begin{eqnarray*} x²-\frac{a²}{2}=0 \end{eqnarray*}$ |*2

$\begin{eqnarray*} 2x²-a²=0 \end{eqnarray*}$ |+a²
$\begin{eqnarray*} 2x²=a² \end{eqnarray*}$ | Wurzel
$\begin{eqnarray*} 2x=a \end{eqnarray*}$ | /2
$\begin{eqnarray*} x=0,5a \end{eqnarray*}$

das mit den Potenzgesetzen versteh ich irgentwie nicht unglücklich

21.10.2006, 16:40

pseudo-nym

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{2x}= \sqrt{2} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ist nicht 0,5 (!).
Außerdem ist es zweckmäßiger anfangs so umzuformen:
$\begin{eqnarray*} x²-\frac{a²}{2}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2=\frac{a^2}{2} \end{eqnarray*}$

21.10.2006, 16:42

Apokalypse

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Zitat:

Beim Wurzelziehen ist dir ein böser Fehler unterlaufen.

Außerdem kann man bei quadratischen Gleichungen eine negative und eine positive Wurzel ziehen.

21.10.2006, 16:43

vektorraum

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Zitat:

Original von Lena159
Lösungsweg für a)

$\begin{eqnarray*} x²-\frac{a²}{2}=0 \end{eqnarray*}$ |*2

$\begin{eqnarray*} 2x²-a²=0 \end{eqnarray*}$ |+a²
$\begin{eqnarray*} 2x²=a² \end{eqnarray*}$ | Wurzel
$\begin{eqnarray*} 2x=a \end{eqnarray*}$ | /2
$\begin{eqnarray*} x=0,5a \end{eqnarray*}$

das mit den Potenzgesetzen versteh ich irgentwie nicht unglücklich

Hi!

Bis $\begin{eqnarray*} 2x²=a² \end{eqnarray*}$ ist es ja noch richtig! Aber dann:
Wenn du wirklich hier die Wurzel ziehen willst, dann bitte so:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{2x^2}=\sqrt{a^2} \end{eqnarray*}$

Dann bleibt nämlich noch die Wurzel von zwei übrig!!! Günstiger wäre es, wenn du erst mal durch zwei teilst und dann steht die Lösung ja schon fast da!!!

Edit: Zu langsam Forum Kloppe

21.10.2006, 16:47

pseudo-nym

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Zitat:

Günstiger wäre es, wenn du erst mal durch zwei teilst und dann steht die Lösung ja schon fast da!!!

das ist richtig, aber unpraktisch, denn man erhält dann $\begin{eqnarray*} x^2=\frac{a^2}{2} \end{eqnarray*}$ . Und das erreicht man einfacher indem man am Anfang addiert.

21.10.2006, 16:49

Lena159

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vielen Dank erstmal für eure Hilfe.

Aber es wäre für mich glaube ich sehr hilfreich wenn mir einer die a) mal richtig vorrechnen würde, also vom Anfang bis zum Ende.

Zusätzlich würde mich noch interessieren ob das Ergebnis von d) richtig ist.

Vielen Dank schonmal

21.10.2006, 16:54

pseudo-nym

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Nope, Komplettlösungen werden hier keine verteilt aber du bist ja nur noch einen Schritt entfernt. Rechne doch jetzt mal bei $\begin{eqnarray*} x^2=\frac{a^2}{2} \end{eqnarray*}$ weiter und beachte, dass wenn du einen Bruch radizierst, du Zähler und Nenner radizieren musst.

21.10.2006, 17:16

Lena159

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ich versteh irgentwie den Zusammenhang nicht. Wenn ich aus deiner geposteten Gleichung nun die Wurzel ziehe, woher weiß ich was x1 und x2 ist bzw. kommt dann doch eine irrationale Zahl raus. Ich kann mir nicht vorstellen die Wurzel aus 2 ziehen zu müssen. Zudem muss ich zugeben das ich das mit den Wurzel und Potenzgesetzen noch nicht ganz verstanden habe.

$\begin{eqnarray*} x=\frac{a}{\sqrt{2} \approx 1{,}4} \end{eqnarray*}$

21.10.2006, 17:25

pseudo-nym

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Da steht doch dein Ergebnis (also fast).
"Potenzgeschichten": Die Wurzel aus einer Zahl ist einfach nur die Zahl mit 0,5 potenziert, also $\begin{eqnarray*} \sqrt{u}=u^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ . Wenn wir das jetzt auf unsere Aufgabe anwenden dann ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} x^2=\frac{a^2}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=\pm \sqrt{\frac{a}{2}} \end{eqnarray*}$
(Beachte, dass eine Wurzel ein negatives und ein positives Ergebnis hat!)
und hier hast du es schon richtig angewendet:
$\begin{eqnarray*} x=\pm \frac{a}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ kann man nicht mehr vereinfachen -> Fertig.

21.10.2006, 17:33

Lena159

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okay, das mit der Wurzel habe ich nun verstanden. Nur wieso fällt das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ komplett weg? $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ Dieses Zeichen habe ich noch nie gesehen, hat es damit was zu tun?

Vielen Dank

MfG

21.10.2006, 17:43

Venus²

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das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ fällt nicht weg.

$\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ bedeutet das:

$\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} - \end{eqnarray*}$

Wenn du eine quadratische Gleichung löst, dann gibt es doch, wenn die Diskriminante $\begin{eqnarray*} > 0 \end{eqnarray*}$ ist, immer zwei Lösungen.
Die eine ist positiv(+) und die andere negativ (-).

21.10.2006, 17:44

Lena159

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bzw. müsste c) dann doch richtig sein?

Hab es nochmal in identischer Weise wie a) ausgerechnet und bekomme das selbe Ergebnis.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x²-2t=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x²=4t² \end{eqnarray*}$ | $\begin{eqnarray*} \sqrt{} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x= \mid2t\mid \end{eqnarray*}$

21.10.2006, 17:58

Venus²

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Das ist falsch. Wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} t^2 \end{eqnarray*}$ ?

22.10.2006, 18:10

Leye

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RE: Quadratische Gleichungen

Zitat:

Original von Lena159
Für welche Wahl des Parameters a hat die gleichung genau eine Lösung?

Verstehe die Aufgabenstellung irgentwie nicht unglücklich

Bei diesen Aufgaben sucht man x in Abhängigkeit von einem Parameter, in diesem Falle a. x ist wie gewohnt die Variable/Unbekannte, nach der man auflöst (die man sucht), und a soll Platzhalter für irgendwelche beliebige Zahlen sein, allerdings keine Variable, nach der man auflöst!
Beispiel: In der Gleichung $\begin{eqnarray*} 3x + 6a = 0 \end{eqnarray*}$ ist die Lösung $\begin{eqnarray*} x = -2a \end{eqnarray*}$ -- das ist schon das Ergebnis, da man eben die Lösung der Gleichung in Abhängigkeit von a sucht.

Quadratische Gleichungen können ja eine, zwei oder keine Lösung haben. Das kann man erkennen, wenn man bei der pq- oder Mitternachtsformel die Diskriminante D untersucht:
$\begin{eqnarray*} -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^{2} - q} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D := (\frac{p}{2})^{2} - q \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\frac{p}{2} \pm \sqrt{D} \end{eqnarray*}$

Ist die Diskriminante kleiner 0, gibt es in der Menge der reellen Zahlen keine Lösung. Ist die Diskriminante gleich 0, hat die Gleichung eine Lösung, ist die Diskriminante größer als 0, hat die Gleichung zwei Lösungen.

Gefragt ist nun, für welches a es genau eine Lösung gibt -- die Diskriminante muss also 0 sein und für a ist diejenige Zahl gesucht, die die Diskriminante auf 0 bringt.
In der ersten Aufgabe sähe es dann erstmal so aus:

$\begin{eqnarray*} 3x^{2} + ax - a = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2} + \frac{a}{3}x - \frac{a}{3} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_{1/2} -\frac{a}{6} \pm \sqrt{\frac{a^{2}}{36} + \frac{a}{3}} \end{eqnarray*}$
Nun soll D = 0 sein, also:
$\begin{eqnarray*} \frac{a^{2}}{36} + \frac{a}{3} = 0 \end{eqnarray*}$
Die Lösungen dieser Gleichung sind 0 und -12. Das heißt also, für a = 0 oder a = -12 ist die Diskriminante D gleich Null und es bleibt die einzige Lösung $\begin{eqnarray*} x_{1} = -\frac{0}{3} = 0 \end{eqnarray*}$ für a = 0 oder $\begin{eqnarray*} x_{1} = -\frac{-12}{6} = 2 \end{eqnarray*}$ für a = -12.

Als Lösung kannst du nun beispielsweise schreiben:
a muss 0 oder -12 sein, damit die Gleichung (...) genau eine Lösung hat:
für a = 0: $\begin{eqnarray*} L = { 0 } \end{eqnarray*}$ ,
für a = -12: $\begin{eqnarray*} L = { 2 } \end{eqnarray*}$ .

Ich hoffe, so kannst du nun die anderen Aufgaben lösen. smile

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