Beweis von Eigenwerten |
07.03.2010, 08:26 | selina.c.y | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Beweis von Eigenwerten ich habe eine Frage: Annahme A diagonalisierbar und seien f;g € K[A]. Zeigen Sie, dass f(A) = g(A) <---> f(lambda) = g(lambda) für alle Eigenwerte lambda von A. Ich weiß, dass f: A--> A genau dann diagonalisierbar ist, wenn A eine Basis bestehend aus Eigenvektoren hat. Aber wie ich das beweisen soll, weiß ich nun überhaupt nicht. Könnte mir jemand helfen? Ich wäre für jede Antwort sehr glücklich. Danke voraus |
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08.03.2010, 10:34 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Beweis von Eigenwerten Hi Selina, Auch hier fehlen Deine eigenen Ansätze völlig. Außerdem finde ich die Angabe sehr irritierend, da ja bereits eine lineare Abbildung sein soll. Ich nehme mal an, dass und einfach nur Polynome über einem Körper sind, also: Schau Dir die Hinrichtung (=>) an: Es ist Nimm Dir einen Eigenwert von sowie einen zugehörigen Eigenvektor und wende nun auf an. Was kommt dabei raus? Wie kann man dann zeigen, dass ist? Gruß, Reksilat. |
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09.03.2010, 18:46 | pablosen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Aufgabe: ------------- Annahme diagonalisierbar und seien . Zeigen Sie, dass für alle Eigenwerte von . ------------- Fertig editiert. diagonalisierbar es gibt Eigenwerte, so dass deren Eigenvektoren in eingetragen ergeben: Meine Versuche bisher: Beweis Ja ähm. ist - sowie -invariant Da alle Eigenvektoren von sozusagen -invariant. Da nun diagonalisierbar alle sind f-invariant für Eigenvektoren von . Beweis alle sind und-invariant und sind Eigenwerte von Da A diagonalisierbar Ich schliesse alle diese Schlüsse aus folgendem:
Ich glaube, ich bin schon ziemlich nahe. Eigenvektor Invarianz. "Grösse" kann sich immer ändern (beim Eigenvektor ist das ja dann der Eigenwert...). Aber die Verhältnisse bzw. die Assoziation (Vektorraum) halt nicht. Mein Beweis ist aber noch ziemlich unfertig und wahrscheinlich nicht richtig so. Fertig editiert. |
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09.03.2010, 19:35 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hi pablosen Zuerst mal: Was soll sein, bzw. was sind und ? Irgendwie irritiert mich dieses A in den eckigen Klammern, da das ja auch für die lineare Abbildung verwendet wird. Weiterhin sehe ich nicht, weshalb A oder f-invariant sein soll. Dazu müsste doch sein und das steht da nirgendwo. Also: Ohne das Wissen, was und eigentlich sind, wirst Du hier auch nichts beweisen können. Mach Dir darüber erst mal Gedanken; oben hatte ich ja auch schon was dazu geschrieben. Gruß, Reksilat. |
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09.03.2010, 20:39 | pablosen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Beweis von Eigenwerten Hallo Reksilat: Ein Kollege meint das gleiche wie du bezüglich Definition von diesen f() und g(). Nebenbei gefragt: Woher will ich wissen, dass Grossbuchstaben immer für Matrizen stehen? Naja, jetzt weiss ich´s ja.
Edit soweit done. Bin zwar noch bischen am Rumprobieren. Und zwar hier: wenn ich durch rechne, dann bin ich doch bei Darf ich das so? Bin da mit Matrizen noch nicht sooo fit. Jetzt kann ich aber nicht mehr durch S teilen, oder? Ich muss ja (in diesem Fall) dieses ins "Matrizen"-Polynom reinbringen |
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09.03.2010, 21:09 | pablosen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Beweis von Eigenwerten Weitere Frage dazu: Wenn gilt und A diagonalisierbar ist. Darf ich dann auch schliessen, dass wegen der Linearität von f() und g() oder wegen der Eigenschaften der Eigenvektoren von A (die werden ja, mit A abgebildet, nur im Betrag verändert)? |
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10.03.2010, 01:18 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Beweis von Eigenwerten
Schau dir den Tipp (und die Frage) von Reksilat mal genau an und frag dich selber, ob du auch nur irgendwas davon in deiner Antwort befolgt/beantwortet hast.
Nein. Seit wann sind denn f und g linear? Es sind Polynome. x² ist z.B. ein Polynom. Ist x² linear? Wohl kaum... Übrigens teilt man nicht durch Matrizen. Was studierst du eigentlich? Hat man dir das nicht in deiner Vorlesung beigebracht? Ich würde dir folgendes vorschlagen: Da all deine Versuche größtenteils aus Unsinn bestehen (Entschuldige, wenn ich das so schreibe, aber es ist wahr), rate ich dir dringendst, den Tipps und Fragen von Reksilat zu folgen. Dann erhöht sich auch die Chance, dass du Antworten auf deine Beiträge bekommst. |
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10.03.2010, 09:36 | pablosen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Beweis von Eigenwerten
Sei Eigenwert und zugehöriger Eigenvektor. Der Vektor, der bei rauskommt ist Da nun (es kommt der gleiche Vektor raus, nämlich Eigenwert*Eigenvektor) Ich kann jetzt aber nicht dieses v einfach aus der Gleichung herausnehmen? Sind diese Ideen jetzt alle wieder Unsinn? |
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10.03.2010, 10:07 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Beweis von Eigenwerten
Das stimmt auch nicht, denn ist gar nicht definiert, da ja ist und somit dann auch . Nun ist aber ein Vektor und Potenzen von Vektoren sind nicht definiert, da man auf der Menge der Vektoren keine Multiplikation hat. Es ist allerdings eine Kombination von Produkten und Summen von linearen Abbildungen und insofern auch wieder eine lineare Abbildung. (Mach Dir das klar!) deshalb kann man das Bild von unter betrachten. Was ist also ? Gruß, Reksilat. |
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10.03.2010, 10:40 | pablosen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Beweis von Eigenwerten
Ist das soweit korrekt? Wenn ja, dann hab ichs glaubs. |
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10.03.2010, 10:42 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Beweis von Eigenwerten Das ist korrekt. |
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10.03.2010, 11:46 | pablosen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Beweis von Eigenwerten
Sauber bewiesen so? Für die Zurückrichtung dann einfach umgekehrt. |
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10.03.2010, 12:06 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Beweis von Eigenwerten
Nö. Ich jedenfalls kann dir nicht folgen. Du hast also f(A)v = f(lambda) v. Das ist richtig. Du brauchst noch was anderes (ok, triviales), um f(lambda) = g(lambda) zu schließen.
Nein. |
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10.03.2010, 12:27 | E-nte Wurzel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Weitere Frage Hallo zusammen hab die selbe Aufgabe, aber es scheint mir von euch recht kompliziert bewiesen. f und g sind ja Polynome, in die ich an der gleichen Stelle das gleiche einfüge... Also mach ich den Koeffizientenvergleich und aus f(A)=g(A) folgt ai ist gleich bi für alle Koeffizienten von f und g... ganz schnurz was ich einsetzte.... Oder lieg ich falsch? Gruss E-nte Wurzel |
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10.03.2010, 12:32 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Schon in Eindimensionalen liegst du falsch: 1³ = 1². |
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10.03.2010, 12:39 | E-nte Wurzel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
:-) Ok, wenn A ungleich eins ist in dem Fall. Aber hier nicht gegeben.. Danke! |
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10.03.2010, 12:44 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das hat nichts mit 1 zu tun: 0² = 0³, oder 5² - 1 = 4 * 5 + 4. |
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10.03.2010, 13:27 | pablosen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Beweis von Eigenwerten
aber von der Aufgabenstellung her ist ja und da * Linearität Produkt, Summe und Eigenschaften Eigenvektoren-Eigenwerte Wie kann ich jetzt noch zeigen, dass ? Weiterer Versuch: Wird haben oben ja gezeigt, dass aus folgt. Aus der Linearität der Multiplikation folgt nun: Vervollständigt das nun den Beweis? Kannst du mir einen Tipp geben ev.? Edit: Zeilenumbruch eingefügt. Gruß, Reksilat. |
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10.03.2010, 13:41 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Beweis von Eigenwerten Kannst du deinen Beitrag editieren und diese Zeile kürzer machen? Das ist ja schrecklich so. Done!
Allein schon der Ausdruck "Linearität der Multiplikation" ist Unsinn... Mach dir lieber klar, was v für ein Vektor ist (oder auch, was für einer er nicht ist). |
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10.03.2010, 19:17 | pablosen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Beweis von Eigenwerten ist der Eigenvektor zu Was fehlt denn jetzt noch zum sauberen Beweis? Kann mir ev. jmd. einen Tipp geben? |
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10.03.2010, 19:26 | pablosen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also Frage: Zugegeben, das mit der Lin. ist ziemlich bescheuert. Es ist nicht so, dass ich alle Seiten durch v teilen muss und das wars? Oder was? |
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10.03.2010, 19:31 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wie willst Du denn durch einen Vektor dividieren? Außerdem ist das hier:
auch keine vernünftige Argumentation. Du bringst hier Behauptung und Voraussetzung durcheinander, denn entweder setzt Du voraus und willst zeigen oder andersherum. Du durchmischst hier aber beides. Zur sauberen Argumentation: Wenn Du das hier hast:
Dann musst Du eben noch begründen, weshalb aus auch folgt. Und da kann man eben nicht dividieren, da muss man elementare Eigenschaften von Vektorräumen nutzen. Tipp: Es folgt ja zunächst: Gruß, Reksilat. |
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10.03.2010, 20:45 | pablosen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Einfach damit wir wissen, wo wir sind, nämlich hier: Wir setzen voraus , sei Eigenvektor zu . Wir haben bisher Es folgt: Ich subtrahiere Es folgt: Da folgt: Stimmt diese "Hinrichtung" nun komplett? |
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10.03.2010, 22:02 | pablosen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Versuch Rückrichtung Wir setzen voraus , sei Eigenvektor zu . Es folgt: Ich subtrahiere Es folgt: Da folgt: Behauptung bewiesen Ist das korrekt? |
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11.03.2010, 01:16 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Jetzt hast du die Zeilen schon wieder so lang gemacht. Was soll denn die Sch...? So habe ich keine Lust, dir zu helfen. Ich sag nur, dass die Rückrichtung so falsch ist. Bei der Hinrichtung ist das letzte Gleichheitszeichen in deiner langen Zeile nicht begründet. Deswegen ist auch die nicht ok. |
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11.03.2010, 09:47 | pablosen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Habe nun ein Enter hinzugefügt, die Zeilen sind nun kürzer. Das letzte Gleichheitszeichen folgt so, wenn man halt g(A)*v ausrechnet und ausschreibt. Das sollte doch genügen so? Bei der Rückrichtung hätte ich sonst noch keine Ideen. Hmm. Grüsse |
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11.03.2010, 09:50 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein das reicht nicht aus. Jetzt wäre es vllt. Zeit die Vorraussetzung diagonalisierbar ins Spiel zu bringen |
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11.03.2010, 12:06 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein, das genügt nicht. Schreib alles aus und folgere dann. |
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11.03.2010, 20:35 | pablosen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Komm.: Sorry, ich muss es paar Tage ruhen lassen und dann nochmals anschauen. Danke euch für die Hilfe. |
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12.03.2010, 00:17 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das ist wieder nicht richtig formuliert. Wenn eine Matrix nur einen Eigenvektor hat, dann auch unendlich viele (zumindest, falls der Körper IK unendlich ist). Denn Vielfache von Eigenvektoren sind wieder Eigenvektoren (und zwar zum gleichen Eigenwert). Was du sagen wolltest, ist: Wenn A diagbar ist, dann gibt es eine Basis von K^n bestehend aus Eigenvektoren von A. Und das stimmt. Es gibt also eine Menge aus n linear unabhängigen Eigenvektoren von A. Und genau diesen Fakt musst du bei deiner Aufgabe nutzen. |
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