Beweis von Eigenwerten

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selina.c.y Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis von Eigenwerten
Guten Morgen,
ich habe eine Frage:

Annahme A diagonalisierbar und seien f;g € K[A].
Zeigen Sie, dass
f(A) = g(A) <---> f(lambda) = g(lambda)
für alle Eigenwerte lambda von A.


Ich weiß, dass f: A--> A genau dann diagonalisierbar ist, wenn A eine Basis bestehend aus Eigenvektoren hat.
Aber wie ich das beweisen soll, weiß ich nun überhaupt nicht.

Könnte mir jemand helfen?
Ich wäre für jede Antwort sehr glücklich.
Danke voraus
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Eigenwerten
Hi Selina,

Auch hier fehlen Deine eigenen Ansätze völlig. Außerdem finde ich die Angabe sehr irritierend, da ja bereits eine lineare Abbildung sein soll. Ich nehme mal an, dass und einfach nur Polynome über einem Körper sind, also:



Schau Dir die Hinrichtung (=>) an:
Es ist
Nimm Dir einen Eigenwert von sowie einen zugehörigen Eigenvektor und wende nun auf an.
Was kommt dabei raus? Wie kann man dann zeigen, dass ist?

Gruß,
Reksilat.
 
 
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgabe:

-------------
Annahme diagonalisierbar und seien . Zeigen Sie, dass für alle Eigenwerte von .
-------------

Fertig editiert.

diagonalisierbar es gibt Eigenwerte, so dass deren Eigenvektoren in eingetragen ergeben:




Meine Versuche bisher:

Beweis

Ja ähm. ist - sowie -invariant Da alle Eigenvektoren von sozusagen -invariant. Da nun diagonalisierbar alle sind f-invariant für Eigenvektoren von .


Beweis
alle sind und-invariant und sind Eigenwerte von Da A diagonalisierbar



Ich schliesse alle diese Schlüsse aus folgendem:

Zitat:
wikipedia.de
In der Mathematik versteht man unter einer Invariante eine zu einem Objekt assoziierte Größe, die sich bei einer jeweils passenden Klasse von Modifikationen des Objektes nicht ändert.

Ein Eigenvektor einer Abbildung ist in der linearen Algebra ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dessen Richtung durch die Abbildung nicht verändert wird.


Ich glaube, ich bin schon ziemlich nahe. Eigenvektor Invarianz. "Grösse" kann sich immer ändern (beim Eigenvektor ist das ja dann der Eigenwert...). Aber die Verhältnisse bzw. die Assoziation (Vektorraum) halt nicht.

Mein Beweis ist aber noch ziemlich unfertig und wahrscheinlich nicht richtig so.

Fertig editiert.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Hi pablosen Big Laugh

Zuerst mal: Was soll sein, bzw. was sind und ? Irgendwie irritiert mich dieses A in den eckigen Klammern, da das ja auch für die lineare Abbildung verwendet wird.

Weiterhin sehe ich nicht, weshalb A oder f-invariant sein soll. Dazu müsste doch sein und das steht da nirgendwo.

Also: Ohne das Wissen, was und eigentlich sind, wirst Du hier auch nichts beweisen können. Mach Dir darüber erst mal Gedanken; oben hatte ich ja auch schon was dazu geschrieben.

Gruß,
Reksilat.
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Eigenwerten
Hallo Reksilat:

Ein Kollege meint das gleiche wie du bezüglich Definition von diesen f() und g().

Nebenbei gefragt: Woher will ich wissen, dass Grossbuchstaben immer für Matrizen stehen? Naja, jetzt weiss ich´s ja.

Zitat:
Original von ReksilatNimm Dir einen Eigenwert von sowie einen zugehörigen Eigenvektor und wende nun auf an.
Was kommt dabei raus? Wie kann man dann zeigen, dass ist?


Edit soweit done. Bin zwar noch bischen am Rumprobieren. Und zwar hier:





wenn ich durch rechne, dann bin ich doch bei



Darf ich das so? Bin da mit Matrizen noch nicht sooo fit. Jetzt kann ich aber nicht mehr durch S teilen, oder?

Ich muss ja (in diesem Fall) dieses ins "Matrizen"-Polynom reinbringen
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Eigenwerten
Weitere Frage dazu:

Wenn gilt und A diagonalisierbar ist. Darf ich dann auch schliessen, dass wegen der Linearität von f() und g() oder wegen der Eigenschaften der Eigenvektoren von A (die werden ja, mit A abgebildet, nur im Betrag verändert)?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Eigenwerten
Zitat:
Original von pablosen
Zitat:
Original von ReksilatNimm Dir einen Eigenwert von sowie einen zugehörigen Eigenvektor und wende nun auf an.
Was kommt dabei raus? Wie kann man dann zeigen, dass ist?



Schau dir den Tipp (und die Frage) von Reksilat mal genau an und frag dich selber, ob du auch nur irgendwas davon in deiner Antwort befolgt/beantwortet hast.


Zitat:
Original von pablosen
Wenn gilt und A diagonalisierbar ist. Darf ich dann auch schliessen, dass wegen der Linearität von f() und g()


Nein. Seit wann sind denn f und g linear? Es sind Polynome. x² ist z.B. ein Polynom. Ist x² linear? Wohl kaum...

Übrigens teilt man nicht durch Matrizen. Was studierst du eigentlich? Hat man dir das nicht in deiner Vorlesung beigebracht?

Ich würde dir folgendes vorschlagen: Da all deine Versuche größtenteils aus Unsinn bestehen (Entschuldige, wenn ich das so schreibe, aber es ist wahr), rate ich dir dringendst, den Tipps und Fragen von Reksilat zu folgen. Dann erhöht sich auch die Chance, dass du Antworten auf deine Beiträge bekommst.
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Eigenwerten
Zitat:
Original von WebFritziIch würde dir folgendes vorschlagen: Da all deine Versuche größtenteils aus Unsinn bestehen (Entschuldige, wenn ich das so schreibe, aber es ist wahr),
Das ist schon ok, bin ja kritikfähig.
Zitat:
rate ich dir dringendst, den Tipps und Fragen von Reksilat zu folgen. Dann erhöht sich auch die Chance, dass du Antworten auf deine Beiträge bekommst.
Ich beantworte die Fragen von Reksilat:
Zitat:
Schau Dir die Hinrichtung (=>) an: Es ist Nimm Dir einen Eigenwert von sowie einen zugehörigen Eigenvektor und wende nun auf an. Was kommt dabei raus? Wie kann man dann zeigen, dass


Sei Eigenwert und zugehöriger Eigenvektor.


Der Vektor, der bei rauskommt ist



Da nun (es kommt der gleiche Vektor raus, nämlich Eigenwert*Eigenvektor)

Ich kann jetzt aber nicht dieses v einfach aus der Gleichung herausnehmen? Sind diese Ideen jetzt alle wieder Unsinn?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Eigenwerten
Zitat:

Das stimmt auch nicht, denn ist gar nicht definiert, da ja ist und somit dann auch . Nun ist aber ein Vektor und Potenzen von Vektoren sind nicht definiert, da man auf der Menge der Vektoren keine Multiplikation hat.

Es ist allerdings eine Kombination von Produkten und Summen von linearen Abbildungen und insofern auch wieder eine lineare Abbildung. (Mach Dir das klar!)
deshalb kann man das Bild von unter betrachten. Was ist also ?

Gruß,
Reksilat.
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Eigenwerten
Zitat:
Original von Reksilat
Zitat:

Das stimmt auch nicht, denn ist gar nicht definiert, da ja ist und somit dann auch . Nun ist aber ein Vektor und Potenzen von Vektoren sind nicht definiert, da man auf der Menge der Vektoren keine Multiplikation hat.

Es ist allerdings eine Kombination von Produkten und Summen von linearen Abbildungen und insofern auch wieder eine lineare Abbildung. (Mach Dir das klar!)
Das ist mir soweit klar.
Zitat:
deshalb kann man das Bild von unter betrachten. Was ist also


Ist das soweit korrekt? Wenn ja, dann hab ichs glaubs.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Eigenwerten
Das ist korrekt. Freude
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Eigenwerten
Zitat:
Original von Reksilat
Das ist korrekt. Freude
Und da __ , __ und









Sauber bewiesen so? Für die Zurückrichtung dann einfach umgekehrt.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Eigenwerten
Zitat:
Original von pablosen
Sauber bewiesen so?


Nö. Ich jedenfalls kann dir nicht folgen. Du hast also f(A)v = f(lambda) v. Das ist richtig. Du brauchst noch was anderes (ok, triviales), um f(lambda) = g(lambda) zu schließen.


Zitat:
Original von pablosen
Für die Zurückrichtung dann einfach umgekehrt.


Nein.
E-nte Wurzel Auf diesen Beitrag antworten »
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Hallo zusammen

hab die selbe Aufgabe, aber es scheint mir von euch recht kompliziert bewiesen.

f und g sind ja Polynome, in die ich an der gleichen Stelle das gleiche einfüge... Also mach ich den Koeffizientenvergleich und aus f(A)=g(A) folgt ai ist gleich bi für alle Koeffizienten von f und g... ganz schnurz was ich einsetzte....

Oder lieg ich falsch?

Gruss

E-nte Wurzel
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Schon in Eindimensionalen liegst du falsch: 1³ = 1².
E-nte Wurzel Auf diesen Beitrag antworten »
:-)
Ok, wenn A ungleich eins ist in dem Fall. Aber hier nicht gegeben.. Danke!
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Das hat nichts mit 1 zu tun: 0² = 0³, oder 5² - 1 = 4 * 5 + 4.
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Eigenwerten
Zitat:
Original von WebFritziNö. Ich jedenfalls kann dir nicht folgen. Du hast also f(A)v = f(lambda) v. Das ist richtig. Du brauchst noch was anderes (ok, triviales), um f(lambda) = g(lambda) zu schließen
Okay. Wir waren bei



aber von der Aufgabenstellung her ist ja und da




* Linearität Produkt, Summe und Eigenschaften Eigenvektoren-Eigenwerte


Wie kann ich jetzt noch zeigen, dass ?


Weiterer Versuch:

Wird haben oben ja gezeigt, dass aus folgt.

Aus der Linearität der Multiplikation folgt nun:



Vervollständigt das nun den Beweis? Kannst du mir einen Tipp geben ev.?

Edit: Zeilenumbruch eingefügt. Gruß, Reksilat.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Eigenwerten
Kannst du deinen Beitrag editieren und diese Zeile kürzer machen? Das ist ja schrecklich so.
Done!

Zitat:
Original von pablosen
Wir haben oben ja gezeigt, dass aus folgt.

Aus der Linearität der Multiplikation folgt nun:




Allein schon der Ausdruck "Linearität der Multiplikation" ist Unsinn... Mach dir lieber klar, was v für ein Vektor ist (oder auch, was für einer er nicht ist).
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Eigenwerten
ist der Eigenvektor zu Was fehlt denn jetzt noch zum sauberen Beweis?

Kann mir ev. jmd. einen Tipp geben?
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »

Also Frage:

Zugegeben, das mit der Lin. ist ziemlich bescheuert.
Es ist nicht so, dass ich alle Seiten durch v teilen muss und das wars?

Oder was?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer Wie willst Du denn durch einen Vektor dividieren? Hammer

Außerdem ist das hier:
Zitat:

auch keine vernünftige Argumentation. Du bringst hier Behauptung und Voraussetzung durcheinander, denn entweder setzt Du voraus und willst zeigen oder andersherum. Du durchmischst hier aber beides.

Zur sauberen Argumentation:
Wenn Du das hier hast:
Zitat:

Dann musst Du eben noch begründen, weshalb aus auch folgt. Und da kann man eben nicht dividieren, da muss man elementare Eigenschaften von Vektorräumen nutzen.

Tipp: Es folgt ja zunächst:

Gruß,
Reksilat.
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »

Einfach damit wir wissen, wo wir sind, nämlich hier:

Wir setzen voraus

, sei Eigenvektor zu .

Wir haben bisher



Es folgt:



Ich subtrahiere



Es folgt:



Da

folgt:



Stimmt diese "Hinrichtung" nun komplett?
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »

Versuch Rückrichtung

Wir setzen voraus

, sei Eigenvektor zu .



Es folgt:



Ich subtrahiere



Es folgt:



Da

folgt:




Behauptung bewiesen

Ist das korrekt?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt hast du die Zeilen schon wieder so lang gemacht. Was soll denn die Sch...? So habe ich keine Lust, dir zu helfen. Ich sag nur, dass die Rückrichtung so falsch ist. Bei der Hinrichtung ist das letzte Gleichheitszeichen in deiner langen Zeile nicht begründet. Deswegen ist auch die nicht ok.
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Jetzt hast du die Zeilen schon wieder so lang gemacht. Was soll denn die Sch...? So habe ich keine Lust, dir zu helfen. Ich sag nur, dass die Rückrichtung so falsch ist. Bei der Hinrichtung ist das letzte Gleichheitszeichen in deiner langen Zeile nicht begründet. Deswegen ist auch die nicht ok.
Hallo

Habe nun ein Enter hinzugefügt, die Zeilen sind nun kürzer.

Das letzte Gleichheitszeichen folgt so, wenn man halt g(A)*v ausrechnet und ausschreibt. Das sollte doch genügen so?

Bei der Rückrichtung hätte ich sonst noch keine Ideen. Hmm.

Grüsse
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pablosen
Da

folgt:



Nein das reicht nicht aus. Jetzt wäre es vllt. Zeit die Vorraussetzung diagonalisierbar ins Spiel zu bringen Augenzwinkern
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pablosen
Das letzte Gleichheitszeichen folgt so, wenn man halt g(A)*v ausrechnet und ausschreibt. Das sollte doch genügen so?


Nein, das genügt nicht. Schreib alles aus und folgere dann.
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kiste
Zitat:
Original von pablosen
Da

folgt:



Nein das reicht nicht aus. Jetzt wäre es vllt. Zeit die Vorraussetzung diagonalisierbar ins Spiel zu bringen Augenzwinkern
Da A diagonalisierbar, hat A n Eigenvektoren wenn .

Komm.: Sorry, ich muss es paar Tage ruhen lassen und dann nochmals anschauen.

Danke euch für die Hilfe.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pablosen
Da A diagonalisierbar, hat A n Eigenvektoren wenn .


Das ist wieder nicht richtig formuliert. Wenn eine Matrix nur einen Eigenvektor hat, dann auch unendlich viele (zumindest, falls der Körper IK unendlich ist). Denn Vielfache von Eigenvektoren sind wieder Eigenvektoren (und zwar zum gleichen Eigenwert).

Was du sagen wolltest, ist: Wenn A diagbar ist, dann gibt es eine Basis von K^n bestehend aus Eigenvektoren von A. Und das stimmt. Es gibt also eine Menge aus n linear unabhängigen Eigenvektoren von A. Und genau diesen Fakt musst du bei deiner Aufgabe nutzen.
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