Richtungsableitung und höhere Ableitungen |
| 07.03.2010, 08:29 | dmf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Richtungsableitung und höhere Ableitungen Hätte eine Frage an euch: Hab folgende Aufgabe zu lösen: Sei f: IR2-->IR definiert durch f(x,y):=a*x*cos(3*x-y)+b*sin(3*x-y). Bestimmen Sie a,b so dass für Tangenten an den Graphen von f im Punkt(1,3,f(1,3)) folgendes gilt: In Richtung (3,4) beträgt die Steigung 20% und in Richtung (1,0) ist sie waagrecht. Geben Sie dann in diesem Punkt die Tangentialebene an in der Form ax+by+cz´d. Meine Ideen: Also mein Problem daran ist dass ich nicht weiß wie ich zu meinem a,b komme. Hab mir mal den Gradienten an der Stelle (1,3) berechnet und bekomme für a+3b und -b. So und jetzt weiß ich nicht weiter wie ich a und b bestimmen soll. Danke im Vorraus für eure Hilfe. lg dmf |
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| 07.03.2010, 10:58 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Richtungsableitung und höhere Ableitungen Hallo! Du brauchst die beiden Richtungsableitungen in den angegebenen Richtungen. Wie kriegst du die? Und was bedeutet eine Steigung von 20%, das müsstest du zunächst einmal übersetzen. Grüße Abakus 
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| 07.03.2010, 11:15 | dmf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Richtungsableitung und höhere Ableitungen Naja Meinst du die Richtungsableitung in Richtung (3,4) und (0,1)? Die bekomme ich durch einsetzen in den Gradienten, oder?? Steigung 20% k=20%=20/100=0,2 Aber wo benötige ich die Steigung dabei? |
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| 07.03.2010, 11:37 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Richtungsableitung und höhere Ableitungen
Na von anderen Richtungen ist ja nicht die Rede. Die Richtungsableitungen bekommst du durch das Skalarprodukt mit dem Gradienten.
Bzgl. einer prozentual angegebenen Steigung gibt es verschiedene Interpretationen. Daher frage ich dich, welche davon habt ihr vereinbart? Die Steigung wird durch die Richtungsableitung oben angegeben. Du musst beides gleichsetzen. Grüße Abakus
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| 07.03.2010, 13:17 | dmf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Richtungsableitung und höhere Ableitungen Hallo Abakus, Ist das dann die Richtungsableitung in Richtung (3,4) : <grad f(x,y), (3,4)> Und in die Richtung (1,0) wäre sie dann <grad f(x,y), (1,0)> Muss ich dabei jeweils den Gradienten im Punkt (1,3,f81,3)) nehmen? Was meinst du mit Interpretation der Steigung in %??? Was muss ich gleichsetzten? die beiden Richtungsableitungen? Könntest du die Schritte die man machen muss um zu a, b zu gelangen vielleicht aufschreiben?
Danke lg dmf |
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| 07.03.2010, 13:41 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Richtungsableitung und höhere Ableitungen
Derartige Zusammenhänge sollten aus deinem Skript/deiner Vorlesung schon ersichtlich sein. Was steht dort? Ja, es geht um den Gradienten im Punkt (1,3). Die ggf. zu klärende Frage ist, ob du hier ggf. Einheitsvektoren verwenden musst oder nicht (das hängt von eurer Definition der Richtungsableitung ab).
Hier gab es zB mal eine Diskussion über dieses Thema.
Wie hängen Steigung und Ableitung zusammen? Wenn du das weißt, folgt auch, was du gleichsetzen musst: die jeweiligen Richtungsableitungen mit der jeweils vorgegebenen Steigung. Das Boardprinzips (siehe Link rechts) verbietet vollständige Lösungen. Grüße Abakus
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| 07.03.2010, 14:12 | dmf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Richtungsableitung und höhere Ableitungen Hallo Abakus, OK. Der Gradient im Punkt (1,3) ist (a+3b,-b) Unsere Definition der der Richtungsableitung wäre: Und dann muss ich die Richtungsableitungen mit den jeweiligen Steigungen einmal 0,2 und einmal 0 gleichsetzten und komme somit auf mein a und b. Jetzt wäre dann nurmehr die Richtungsableitung das Problem? Schaut nämlich mit meiner Formel ein wenig komisch aus und weiters hab ich dann noch ein t. Dake lg dmf edit(Abakus): Latex |
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| 07.03.2010, 14:17 | dmf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Richtungsableitung und höhere Ableitungen Die Definition der Richtungsableitung wurde leider nicht richtig dargestellt. lim f(x+tv)-f(a) / t t->0 lg dmf |
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| 07.03.2010, 16:07 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Richtungsableitung und höhere Ableitungen
Soweit ok. Was ist hier v für ein Vektor, ein Einheitsvektor oder ein beliebiger ? Nach der Aufgabenstellung sind als Richtungen ja beliebige Vektoren zugelassen, aber das muss man erstmal klären (es gibt auch die Version, in der nur Einheitsvektoren als Richtungen genommen werden). In jedem Fall hast du: Da du sowohl den Gradienten als auch die Richtung hast, kannst du das ausrechnen. Und da die Richtungsableitung die Steigung in der jeweiligen Richtung angibt, kannst du es dann gleichsetzen mit den geforderten Steigungen. Grüße Abakus
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| 07.03.2010, 18:42 | dmf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Richtungsableitung und höhere Ableitungen Zur Richtungsableitung: Betrag von v = 1. Die Richtungsableitung von f in x Richtung v ist definiert durch oben genannte Formel. |
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| 07.03.2010, 18:53 | dmf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Richtungsableitung und höhere Ableitungen Das heißt dann für mich ich habe: *= 0,2 und *=0 Und so erhalte ich dann mein a und b? Danke lg dmf |
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| 08.03.2010, 20:38 | dmf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Bsp. gelöst. Danke lg dmf |
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| 09.03.2010, 18:54 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Richtungsableitung und höhere Ableitungen
Ja, nur ist dein (3, 4) hier kein Einheitsvektor, wie du weiter oben aber ansetzen wolltest. Grüße Abakus
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