Diagonalisierbarkeit beweisen

07.03.2010, 09:39

selina.c.y

Diagonalisierbarkeit beweisen

Sei V ein endlich-dimensional K-Vektorraum und sei
f: V-->V ein diagonalisierbarer Endomorphismus von V.

Sei U ein f-invarianter Untervektorraum von V.

Zeigen Sie, dass der Endomorphismus f|u: U-->U von U diagonalisierbar ist.

07.03.2010, 10:53

Iorek

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Du erstellst 5 Beiträge auf einmal, was schon nicht gern gesehen ist, und lieferst in keinem einen Ansatz für die Lösung, was auch nicht gern gesehen ist. Konzentrier dich auf eine Aufgabe, erarbeite einen Ansastz dafür und wenn du konkrete Probleme hast, kannst du gerne nachfragen; 5 Aufgaben auf einmal zu bearbeiten ist sinnlos.

09.03.2010, 18:30

pablosen

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Die Aufgabe:
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Sei V ein endlich-dimensionaler $\begin{eqnarray*} \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ -Vektorraum und sei $\begin{eqnarray*} f : V \rightarrow V \end{eqnarray*}$ ein diagonalisierbarer Endomorphismus von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ -invarianter Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass der Endomorphismus $\begin{eqnarray*} f|_U: U \rightarrow U \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ diagonalisierbar ist.
-------------

Also auch ich stecke da fest. $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist also $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ - invariant. Was bedeutet das?

Laut Wikipedia (ich interpretier jetzt mal) bleiben also die Verhältnisse zwischen den jeweiligen Vektorelementen für alle Vektoren in diesem Untervektorraum gleich, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ darauf angewendet wird. Zudem ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung (=Homomorphismus) auf sich selbst.

Sei $\begin{eqnarray*} f:= \begin{pmatrix} f_{00} &... & ... & f_{0n} \\... & ... & ... &... \\ ... & ... & ... & ... \\ f_{n0} & ... & ... & f_{nn} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , sei $\begin{eqnarray*} u := \begin{pmatrix} u_1 \\...\\ ... \\ u_n \end{pmatrix} \in U \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist ja linear. Aber was wäre dann der nächste Schritt? Hmmm
Was heisst diagonalisierbar? Jo, ähm... dass Eigenwerte existieren und da u f-invariant $\begin{eqnarray*} \rightarrow u \end{eqnarray*}$ ist Eigenvektor von f (?).

Irgendwie müsste doch dieser Unterraum $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ (ein) Eigenraum von diesem $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sein.

Weiter komme ich dann aber auch nicht mehr.

09.03.2010, 21:26

D@Npower

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Ich würde die Antwort eines Cracks abwarten, hier aber trotzdem mein Vorschlag (aber eben: kein Gewähr!)

Du kannst V direkt zerlegen in eine Summe f-invarianter Unterräume U_i . f_i bezeichne dabei die Einschränkung von f auf U_i. Dann ist: f = direkte Summe von den f_i 's
Werden nun Basen der Unterräume zu einer Basis von V zusammengeführt, so ergibt sich die Matrix f als Blockdiagonalmatrix.

Umgekehrt ist es dann offensichtlich, dass zu jedem Endomorphismus mit einer entsprechenden Matrix eine Zerlegung von V in invariante Unterräume gehört.

..ich hoffe, das konnte helfen bzw. eben - lasst es zuerst bestätigen.. Augenzwinkern

09.03.2010, 23:11

Wirr

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Ein Endomorphismus $\begin{eqnarray*} f:V\rightarrow V \end{eqnarray*}$ ist genau dann diagonalisierbar, wenn sein Minimalpolynom $\begin{eqnarray*} m_{f} \end{eqnarray*}$ in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerlegt werden kann. Nach Voraussetzung besitzt $\begin{eqnarray*} m_{f} \end{eqnarray*}$ ein solche Form. So folgt
$\begin{eqnarray*} m_{f}(f)=0 \Rightarrow m_{f}(f\restriction_U)=0\Rightarrow ... \end{eqnarray*}$ .
Damit lässt sich $\begin{eqnarray*} f\restriction_U \end{eqnarray*}$ diagonalisieren.

Edit: Wegen Komplettlösung den letzten Beweisschritt entfernt. Gruß, Reksilat.

09.03.2010, 23:22

D@Npower

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Zitat:

Original von Wirr
Damit lässt sich $\begin{eqnarray*} f\restriction U \end{eqnarray*}$ diagonalisieren.

Wow. Kurz und bündig smile

Gefällt mir! Mein Lösungsansatz für pablosen wäre aber auch nicht falsch, oder?
Nun gut - sicher ist er umständlicher als dein Weg, aber da wird wohl jeder andere Lösungsweg länger sein smile

10.03.2010, 10:48

Reksilat

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Ihr solltet pablosen vielleicht erst mal darauf hinweisen, dass seine bisherigen Vermutungen völliger Unfug sind:

Zitat:

Also auch ich stecke da fest. $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist also $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ - invariant. Was bedeutet das?

Laut Wikipedia (ich interpretier jetzt mal) bleiben also die Verhältnisse zwischen den jeweiligen Vektorelementen für alle Vektoren in diesem Untervektorraum gleich, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ darauf angewendet wird.

Einen festen Begriff soll man eigentlich nicht willkürlich interpretieren, denn der hat ein gewisse Bedeutung und hier heißt f-invariant eben, dass $\begin{eqnarray*} f(U)\subseteq U \end{eqnarray*}$ ist. Nicht mehr und nicht weniger.

Zitat:

Zudem ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung (=Homomorphismus) auf sich selbst.

Das ergibt überhaupt keinen Sinn! unglücklich

@Danpower: Woraus folgt bei Dir die Existenz einer Zerlegung von V in f-invariante Unterräume?
(€: Es existiert natürlich immer die triviale Zerlegung, da ja V f-invariant ist, aber was hat das mit dem U zu tun?)

@Wirr: Keine Komplettlösungen! Ich weiß, dass da noch einiges an Denkarbeit dahintersteckt, aber es läd zum Abschreiben ein. Ich nehme deshalb ein bisschen was raus... Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

10.03.2010, 11:30

pablosen

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Also fangen wir beim Anfang an:

Zitat:

wenn sein Minimalpolynom $\begin{eqnarray*} m_{f} \end{eqnarray*}$ in paarweise verschiedene Linearfaktoren

Habe jetzt versucht, zu begreifen, was ein Minimalpolynom ist.

Minimalpolynom heisst nicht charakteristisches Polynom, sondern ist die Gleichung, die man aufstellt, um zu den Eigenwerten die Eigenvektoren zu berechnen.

Das stimmt soweit?

Wenn ja, heisst dieser Satz konkret: Die geometrische Multiplizität eines Eigenwertes ist hier gleich seiner algebraischen Multiplizität.

Auch wieder Quatsch?

10.03.2010, 11:37

jester.

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Ist $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ein K-Vektorraumendomorphismus, so ist das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ das normierte Polynom kleinsten Grades (mit Koeffizienten in K), das $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ annuliert.

Nicht ganz unwichtig in diesem Zusammenhang: Satz von Cayley-Hamilton.

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