projektive Geometrie: perspektive Kollineation

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Kappadog Auf diesen Beitrag antworten »
projektive Geometrie: perspektive Kollineation
Folgende "Grundaufgabe":
Gegeben ist ein Kreis und eine persp.Kollineation (=pK), mit Zentrum (=Z), Achse und Verschwindungsgerade. Die Verschw.-Gerade (=v) soll den Kreis nicht schneiden oder berühren, also kommt eine Ellipse als Bild heraus.


Unser Vortragender hat uns eine Konstruktion präsentiert, mit der man angeblich die Haupt- und Nebenachse der Ellipse finden kann:
1. Zuerst konstruiert man den Mittelpunkt der Ellipse. (Bitte nur antworten wer das schon kann. Augenzwinkern )
2. Jetzt einen Thaleskreis mit Mittelpunkt auf v, durch das Zentrum Z und den Mittelpunkt der Ellipse Me konstruieren.
3. Man erhält 2 Schnittpunkte -> A1, A2
4. Z mit A1 und A2 verbunden ergibt die Richtungen der Achsen, der Ellipse.
5. Parallelverschieben dieser beiden Geraden durch Me und man hat Haupt und Nebenachse.

Meiner Meinung nach erhält man damit 2 beliebige Durchmesser die normal aufeinander stehen, aber nur in SONDERFÄLLEN tatsächlich Haupt und Nebenachse sind.
Der Assistent dürfte genau so einen Sonderfall erwischt haben.
(Unser Assistent meinte zu meinen Einwänden nur, ich hätte was falsch konstruiert...)

Als "Falsifizierung" hab ich einfach folgendes gemacht:
Die Ellipse mit 5 Punkten konstruiert und die Ellipse mit den "angeblichen" Hauptachsen. Bei mir kommen immer 2 VERSCHIEDENE (sehr ähnliche) Ellipsen heraus.

Hinten dran meine Konstrukion (nur das wesentliche) als JPG.

Wer liegt falsch? Ich oder der Assistent?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das sieht nach der Rytz'schen Achsenkonstruktion aus.

Damit können aus zwei konjugierten Durchmessern der Ellipse deren Haupt- und Nebenachsenrichtung ermittelt werden. Die Länge der Hauptachse ist meist leicht zu bestimmen, die der Nebenachse wird durch einen weiteren Punkt und der umgekehrten Papierstreifen-Konstruktion erreicht.

mY+
Kappadog Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das soll definitiv nicht die Rytzsche-Achsenkonstruktion sein. (Die ist mir bekannt.)
In der Übung hatte jemand diese vorgeschlagen. Die Lösung sollte durch "reine" projektive Überlegungen zustande kommen.
Also vereinfacht:
Kann man ausgehend von der Angabe GEZIELT zwei Durchmesser konstruieren, die normal aufeinander stehen UND deren Tangenten ebenfalls normal zueinander sind?

Es sind nur Konstruktionen erlaubt die sich aus der Abbildungsvorschrift der pK ergeben(, unter der Einbeziehung der Ferngerade.)!
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