Komplexe Zahlen: Wie interpretiert man ~exp(z)

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07.03.2010, 10:34

zin-z

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Komplexe Zahlen: Wie interpretiert man ~exp(z)

Meine Frage:
Hallo liebe matheboardler smile

.
Ich möchte gerne Wissen wie $\begin{eqnarray*} \neg exp(z) \end{eqnarray*}$ zu verstehen ist smile

.

Meine Ideen:
Meine Aufgabe ist es zu beweisen, dass ...
$\begin{eqnarray*} exp(\neg z) = \neg exp(z) \end{eqnarray*}$

Mir ist klar, dass $\begin{eqnarray*} \neg z = x - iy \end{eqnarray*}$ ist.

Und somit auch $\begin{eqnarray*} exp(\neg z) = exp(x - iy) \end{eqnarray*}$ .

Allerdings weiß ich nun nicht wie ich $\begin{eqnarray*} \neg exp(z) \end{eqnarray*}$ interpretieren soll. Weshalb es mir auch nicht möglich ist die Aufgabe zu lösen smile

.

Vielen Dank!

zin-z

07.03.2010, 10:47

Abakus

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RE: Komplexe Zahlen: Wie interpretiert man ~exp(z)
Hallo!

In Latex ist: $\begin{eqnarray*} \overline{z} = \end{eqnarray*}$ \overline{z}

Und weiter hast du:

$\begin{eqnarray*} \overline{e^z} = \overline{\sum_{k=0}^{\infty}~\frac{z^k}{k!}} \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du halt überlegen, ob du die komplexe Konjugation da reinziehen kannst. Würde es gehen, wenn du rechts nur ein Polynom hättest? Naja, und dann brauchst du Überlegungen zum Grenzwert.

Grüße Abakus smile

07.03.2010, 11:08

zin-z

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Hallo Abakus,
erstmal vielen Dank für deine sehr schnelle Antwort smile

. Und der Hinweis mit dem overline ist super, genau das hatte ich nämlich gesucht!

Aber leider scheint deine Antwort meinen momentanen Wissenstand zu übersteigen Augenzwinkern

.

Allerdings ist mir dank deinem Begriff ("komplexe Konjugation") eine Art Geistesblitz gekommen, sodass ich meine Aufgabe nun doch verstehen konnte.

Und zwar ist ja $\begin{eqnarray*} exp(\overline{z})=exp(x-iy) = exp(x)\cdot exp(-iy) = exp(x)\cdot\overline{exp(iy)} \end{eqnarray*}$ ,

da der Realteil sich nicht verändert wenn man ihn invertiert (oder wie auch immer das heißt smile

), kann man weiter schreiben:

$\begin{eqnarray*} exp(x)\cdot\overline{exp(iy)} = \overline{exp(x)}\cdot\overline{exp(iy} = \overline{exp(x+iy)} = \overline{exp(z)} \end{eqnarray*}$

Korrigiert mich bitte, wenn ich falsch Gedacht habe smile

.
Vielen Dank smile

!

zin-z

07.03.2010, 11:40

Abakus

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Zitat:

Original von zin-z
$\begin{eqnarray*} exp(-iy) = \overline{exp(iy)} \end{eqnarray*}$

Wenn du die Funktionalgleichung hast, kannst du so natürlich argumentieren. Zeigen müsstest du immer noch, dass du die komplexe Konjugation in das Argument reinziehen kannst.

Wenn du nicht über die e-Reihe gehen willst, ist die Formel von Moivre eine Möglichkeit. Bzw. wenn du obige Formel schon irgendwie hast, bist du auch fertig.

Grüße Abakus smile

07.03.2010, 12:15

MacYdanim

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Alternativ würde auch folgender Ansatz funktionieren:

$\begin{eqnarray*} \overline{\exp(z)} = \overline{e^{x+iy}}=\overline{e^{x}e^{iy}}= e^x \overline{e^{iy}}=e^x\overline{(\cos(y)+i\sin(y)) } = e^x(\cos(y)-i\sin(y)) <br /> \\^*= e^x(\cos(-y)-i(-\sin(-y))) =e^x(\cos(-y)+i\sin(-y))= e^x e^{-iy}=e^{x-iy}=e^{\overline{z}}=\exp{(\overline{z})} \end{eqnarray*}$

Wobei bei * genutzt wurde, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} cos(y)=cos(-y), sin(y)=-sin(-y) \end{eqnarray*}$

07.03.2010, 12:43

Abakus

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Es hängt natürlich davon ab, was bisher über die komplexe e-Funktion gezeigt worden ist. Das Problem sind hier Zirkelschlüsse, dass etwas benutzt wird, was noch gar nicht gezeigt wurde.

Grüße Abakus smile

07.03.2010, 20:45

zin-z

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@MacYdanim, genauso habe ich es gemeint smile

.

@Abakus, du hast Recht, es ist immer schwer einzuschätzen, was schon bekannt ist oder was nicht.

Wie auch immer, mein Problem wurde dank eurer Hilfe gelöst. Somit kann dieses Thema geschlossen werden (zumindest von meiner Seite aus smile

).

An alle Antworter (und vor Allem Abakus), habt vielen Dank für eure schnelle und kompetente Hilfe.

zin-z

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