Tangente - Berechnung der Berührpunkte

21.10.2006, 17:01	eierwurm	Auf diesen Beitrag antworten »
Tangente - Berechnung der Berührpunkte Hi. Ich hab folgende Funktion gegeben: $\begin{eqnarray} fa(x) = \frac{1}{x} \cdot ln (ax^{2}) \end{eqnarray}$ Jetzt gibt es für jedes a genau eine Tangente an den Graphen der Funktion fa, die durch den Koordinatenursprung geht. Ich soll die Koordinaten der Berührungespunkte berechnen. meine Ideen waren: y = mx + n --> n = 0 (da durch O(0/0) f'(x) = m $\begin{eqnarray} fa'(x) = \frac{-1}{x^{2}} \cdot (ln (ax)^{2} -2) \end{eqnarray}$ wenn ich jetzt aber den Punkt O(0/0) in y = mx einsetze, dann kommt 0 raus ... kann mir bitte jemand weiterhelfen? mfg eierwurm
21.10.2006, 17:04	marci_	Auf diesen Beitrag antworten »
versuch es vielleicht so: $\begin{eqnarray} y=mx+c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B(u/f(u)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=f'(x)x+c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B \in y \rightarrow f(u)=f'(u)u+c \end{eqnarray}$ nach c umformen: $\begin{eqnarray} c=f(u)-f'(u)u \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=mx+c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=f'(u)x+f(u)-f'(u)u \end{eqnarray}$ oder auch: $\begin{eqnarray} y=f'(u)(x-u)+f(u) \end{eqnarray*}$ diese gleichung dann nach u auflösen... bedenke. du hast x und y (die tangente soll ja durch den ursprung gehen)
21.10.2006, 20:31	eierwurm	Auf diesen Beitrag antworten »
sind meine ergebnisse mit $\begin{eqnarray} u1 = \frac{\sqrt{e}}{a} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u2= \frac{\sqrt{e}}{-a} \end{eqnarray}$ richtig? mfg eierwurm
22.10.2006, 02:37	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine negative Lösung kann sich nicht ergeben, denn es gibt (a > 0!) an die Schar nur Tangenten mit positiver Steigung durch den Nullpunkt. Aus dem Ansatz $\begin{eqnarray} \frac{1}{u}(ln(a) + 2ln(u) = \frac{1}{u^2}(-ln(a) + 2 - 2ln(u)) \cdot u \end{eqnarray}$ kommt wohl nur $\begin{eqnarray} ln(u) = \frac{1 - ln(a)}{2} \end{eqnarray}$ und somit die (bei dir richtige) Lösung $\begin{eqnarray} u = \frac{\sqrt{e}}{a} \end{eqnarray}$ mY+

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