Durch Mittelwertsatz auf f(x) = const. schließen

07.03.2010, 12:10

MacYdanim

Durch Mittelwertsatz auf f(x) = const. schließen

Hallo Matheboard,
Ich hoffe dass ich mit meinem ersten Beitrag nicht zu viel falsch mache und das Thema schon ausführlich besprochen wurde, aber ich habe es nicht im Forum gefunden.
Also, mal angefangen:

Aufgabe:

Für die differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt für alle $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} | f(x)-f(y)| \leq (x-y)^2 \end{eqnarray*}$

So mein Ansatz, der MWS:

$\begin{eqnarray*} f(y)-f(x) = f'(\xi)(y-x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \xi \in [x,y] \end{eqnarray*}$

also wird obige Formel zu:
$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|=|f(y)-f(x)|=|f'(\xi)(y-x)|=|f'(\xi)||x-y|\leq (x-y)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow |f'(\xi)|\leq|x-y| \end{eqnarray*}$

Jetzt mein Problem. Ich würde nun $\begin{eqnarray*} y \rightarrow x \end{eqnarray*}$ laufen lassen und somit ist $\begin{eqnarray*} \xi=x \end{eqnarray*}$ und weiter $\begin{eqnarray*} |f'(x)|\leq 0 \Leftrightarrow f'(x)=0 \Leftrightarrow f(x)=c \end{eqnarray*}$
Nur kann ich $\begin{eqnarray*} y \rightarrow x \end{eqnarray*}$ laufen lassen, wo ich zuvor durch $\begin{eqnarray*} (x-y) \end{eqnarray*}$ geteilt habe?

Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.

Grüße, Thomas

P.S.: Ich bitte meine schlechte LaTex-Formatierung zu Entschuldigen

07.03.2010, 12:21

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RE: Durch Mittelwertsatz auf f(x) = const. schließen
Du schließt von $\begin{eqnarray*} f'(\xi)=0 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$ , was Ok wäre, wenn die Stetigkeit der Ableitung gesichert wäre - ist sie aber bei dir (noch) nicht. unglücklich

Muss es denn unbedingt der MWS sein? Immerhin kann man die Konstantheit der Funktion beweisen, ohne Stetigkeit oder gar Differenzierbarkeit der Funktion vorauszusetzen - einzig und allein die Voraussetzung

$\begin{eqnarray*} f(x)-f(y) \leq (x-y)^2 \;\mbox{für alle}\; x,y\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

genügt vollkommen. Augenzwinkern

07.03.2010, 12:49

MacYdanim

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RE: Durch Mittelwertsatz auf f(x) = const. schließen
Du meinst:

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|\leq (x-y)^2 \Leftrightarrow \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} \leq |x-y| \end{eqnarray*}$
Und dann den Limes $\begin{eqnarray*} x \rightarrow y \end{eqnarray*}$ bilden?
Das würde natürlich auch gehen, dürfte auch einfacher sein als meine Idee.
Dankeschön!

07.03.2010, 12:53

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Nein, ich dachte überhaupt nicht irgendwas wie Differenzierbarkeit vorauszusetzen. unglücklich

Unterteile den Bereich von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gleichlange Stücke, dann gilt gemäß Dreiecksungleichung

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(0)| \leq \sum_{k=1}^n \left| f\left( \frac{k}{n}x \right) - f\left( \frac{k-1}{n}x \right) \right| \leq \sum_{k=1}^n \left( \frac{k}{n}x - \frac{k-1}{n}x \right)^2 = n\cdot \left( \frac{x}{n} \right)^2 = \frac{x^2}{n} \to 0 \;\mbox{für}\; n\to\infty \end{eqnarray*}$

07.03.2010, 13:35

WebFritzi

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Nein, ich dachte überhaupt nicht irgendwas wie Differenzierbarkeit vorauszusetzen. unglücklich

Das tut man auch nicht, denn diese folgt aus der Betrachtung von MacYdanim automatisch. Augenzwinkern

Deine Beobachtung ist trotzdem schön, finde ich. smile

07.03.2010, 13:48

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Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von Arthur Dent
Nein, ich dachte überhaupt nicht irgendwas wie Differenzierbarkeit vorauszusetzen. unglücklich

Das tut man auch nicht, denn diese folgt aus der Betrachtung von MacYdanim automatisch.

Mag sein, mein "Nein" bezog sich ja auch nur auf MaxYdanims einleitendes "Du meinst:", denn das meinte ich eben nicht. Warum über die Ableitung gehen, wenn es gar nicht nötig ist? Augenzwinkern

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