Konvergenz von Reihen

07.03.2010, 15:16

Javun

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Konvergenz von Reihen

Meine Frage:
Man untersuche on die nachfolgenden Reihen in R konvergieren, und berechne gegebenenfalls den jeweiligen Grenzwert.

$\begin{eqnarray*} a_{n}=(\frac{2^{n+1}-3^{n}}{3^{n+1}+ (-2)^{n} } ) \end{eqnarray*}$

Wie komme ich hier auf die Lösung bzw. wie wäre der Lösungsweg? Ich verstehe leider den ganzen Vorgang nicht, obwohl mir eine Musterlösung vorliegt, die aber sehr kurz und unverstänlich gehalten ist.

Meine Ideen:
In der Musterlösung wurde die Gleichung hierzu umgewandelt. Ich versteh aber auch hier nicht wieso bzw. wie ich auf diesen Schritt komme.

$\begin{eqnarray*} a_{n}=(\frac{2(\frac{2}{3})^{n}-1 }{3+(-\frac{2}{3})^{n}} \end{eqnarray*}$

07.03.2010, 15:20

Equester

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Teile durch 3^n Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.03.2010, 15:29

Iorek

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Du hast da aber keine Reihe sondern eine Folge vorliegen. Oder hast du eigentlich $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ vorliegen und verheimlichst uns das?

07.03.2010, 15:35

Javun

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Ohh, da habe ich mich verschrieben. Handelt sich natürlich um eine Folge...

Was ich mich nur frag ist, was ist aus dem n+1 geworden. Man kann doch nicht einfach n daraus machen?!

So und wenn ich nun die Aufgabe zuende lösen möchte, dann wäre ja das Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \frac{2*0-1}{3} = -\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Nur was habe ich da jetzt genau berechnet? Ist das schon der Grenzwert?

Ich hab noch nicht so recht das Schema begriffen nach dem man so eine Aufgabe löst. Hatte in der Schule nie Probleme mit Mathe, aber ich versteh bei solchen Aufgaben weder den Sinn noch die Logik die dahintersteht.

07.03.2010, 15:49

Javun

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Und wenn ich nun versuche das Schema auf eine andere Aufgabe anzuwenden, dann funktioniert das nicht wirklich

Gehen wir Mal von dieser Aufgabe aus: $\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{n^{3}\sqrt{2} }{n^{2}+3n+4 } \end{eqnarray*}$
Meine Lösung:
$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{\sqrt{2} }{\frac{1}{n}+\frac{3}{n^{2} }+\frac{4}{n^{3} } } = 0 \end{eqnarray*}$

Das ist natürlich falsch, da die Folge gar nicht konvergiert. Aber wie stelle ich das überhaupt fest?!

Es muss doch irgendein Schema geben, nach dem man solche Aufgaben löst?!

07.03.2010, 15:50

MLRS

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RE: Konvergenz von Reihen
$\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac{2^{n+1}-3^{n}}{3^{n+1}+ (-2)^{n} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac{\frac 1 {3^n}(2^{n+1}-3^{n})}{\frac 1 {3^n}(3^{n+1}+ (-2)^{n}) } \end{eqnarray*}$

Distributivgesetz und Potenzregeln anwenden und schauen was für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ passiert

edit: für die 2. Aufgabe: es ist wohl besser, $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ anstatt $\begin{eqnarray*} n^3 \end{eqnarray*}$ auszuklammern, um die Divergenz festzustellen

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07.03.2010, 16:02

Javun

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RE: Konvergenz von Reihen
Ja für die 1. Aufgabe ist das Lösungsverfahren ja soweit klar.

Nur frage ich mich, warum sich das bei Aufgabe 2 plötzlich ändert. (Wie erkenne ich den die Divergenz?! mit n^2?)

Wie verfährt man denn bei einer beliebigen Aufgabe?! Um herauszufinden ob die Folge konvergiert muss man doch den Grenzwert berechnen, wenn ich das richtig sehe...

07.03.2010, 16:05

MLRS

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RE: Konvergenz von Reihen

Zitat:

Original von Javun
Nur frage ich mich, warum sich das bei Aufgabe 2 plötzlich ändert. (Wie erkenne ich den die Divergenz?! mit n^2?)

Zählergrad > Nennergrad

Zitat:

Original von JavunWie verfährt man denn bei einer beliebigen Aufgabe?! Um herauszufinden ob die Folge konvergiert muss man doch den Grenzwert berechnen, wenn ich das richtig sehe...

Nein, oft ist es gar nicht möglich oder notwendig, den Grenzwert selbst zu berechnen.

Am besten ist viel, viel Übung Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.03.2010, 16:12

Javun

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RE: Konvergenz von Reihen
Es ist ja aber in der Aufgabenstellung gefordert den Grenzwert zu berechnen?!

Nur was mich wundert ist ja das in der Musterlösung kein Grenzwert angegeben wurde...

Ich will ja auch anfangen zu üben. Habe auch unmengen an Übungsaufgaben...Nur ist mir manchmal unklar, warum ähnliche Aufgaben unterschiedlich bearbeitet werden müssen.

Also immer wenn der Zählergrad>Nennergrag konvigiert die Folge nicht? Also hat keinen Grenzwert?

07.03.2010, 16:15

Javun

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z.B. diese Folge:

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \sqrt{n^{2}+4n } -n \end{eqnarray*}$

Wie muss ich hier vorgehen?

1. Muss ja geprüft werden ob die Folge konvergiert.
2. Muss der Grenzwert berechnet werden
(Wenn ich das richtig verstanden habe)

Auch ein Link zu einer verständlichen Erklärung wäre sehr hilfreich. Im Script ist das ganze sehr kurz und knapp erklärt...

07.03.2010, 16:16

MLRS

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RE: Konvergenz von Reihen

Zitat:

Original von Javun
Es ist ja aber in der Aufgabenstellung gefordert den Grenzwert zu berechnen?!

Ganz oben steht "gegebenenfalls" - wenn du also Divergenz zeigen kannst, hat sich der Grenzwert erledigt.
Es kann aber auch sein, dass nur auf Konvergenz/Divergenz zu untersuchen ist.

Zitat:

Original von Javun
Ich will ja auch anfangen zu üben. Habe auch unmengen an Übungsaufgaben...Nur ist mir manchmal unklar, warum ähnliche Aufgaben unterschiedlich bearbeitet werden müssen.

Mit ständig dem gleichen Schema wärs auch langweilig Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Javun
Also immer wenn der Zählergrad>Nennergrag konvigiert die Folge nicht? Also hat keinen Grenzwert?

Ja, das solltest du dir selbst klarmachen können.
Gilt natürlich nur für Polynome

edit: neue Aufgabe - neuer Thread Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.03.2010, 16:30

Javun

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Ich versteh es trotzdem nicht ganz...

Es muss doch "Regeln" dafür geben wann eine Folge "konvergiert" und es muss doch auch "Regeln" dafür geben, wann man welches Schema verwendet oder irre ich mich da?

Wie gesagt ein Link zu einer verständlichen Erklärung wäre wirklich hilfreich...

07.03.2010, 16:34

Iorek

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Eine reelle (komplexe) Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ heißt konvergent, wenn ein $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ existiert, so dass zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0=n_0(\varepsilon) \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ existiert mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} |a_n-a|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ .

Das ist die "Regel" für die Konvergenz einer Folge.

07.03.2010, 16:36

MLRS

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Natürlich gibt es die:

Konvergenzkriterien

Wann welche anzuwenden sind, hängt allerdings wirklich von der Aufgabe ab.

Aber mach auf keinen Fall diese Kriterien auswendig lernen

07.03.2010, 17:00

Javun

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Zitat:

Original von Iorek
Eine reelle (komplexe) Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ heißt konvergent, wenn ein $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ existiert, so dass zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0=n_0(\varepsilon) \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ existiert mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} |a_n-a|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ .

Das ist die "Regel" für die Konvergenz einer Folge.

Genauso habe ich die Definition auch bei mir stehen, aber ohne weitere Erklärungen, daher ist mir die "Regel" auch nicht ganz klar denke ich Mal.

Wie soll ich den sonst erkennen, ob eine Folge konvergent ist oder nicht, wenn ich die Regeln nicht auswendig lerne?

07.03.2010, 17:04

Iorek

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Die von MLRS genannten Kriterien sind für Reihen, insofern sind die für Folgen eh nur zweitrangig zu betrachten.

Um die Konvergenz von Folgen zu zeigen ist einfach etwas Übung und Kenntnis von "Standardfolgen" notwendig; bei den von dir genannten Beispielen führt das Ausklammern der höchsten Potenz zum Ziel, bei manchen Folgen hilft das Sandwichlemma...es gibt nicht "das" Standardrezept.

07.03.2010, 17:04

MLRS

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Zitat:

Original von JavunWie soll ich den sonst erkennen, ob eine Folge konvergent ist oder nicht, wenn ich die Regeln nicht auswendig lerne?

Diese Definition solltest du natürlich schon kennen, aber viele der Kriterien von der Liste sind nur selten hilfreich

Oft reicht ja schon bloßes Umformen, um Konvergenz/Divergenz nachzuweisen - üben,üben,üben Augenzwinkern

Augenzwinkern

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