"Mindestens eines der drei Ergeignisse tritt ein"

07.03.2010, 15:27

hnr

"Mindestens eines der drei Ergeignisse tritt ein"

A, B und C seien Ereignisse eines Ereignisraums.
Schreibe mit den Zeichen $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$

Mindestens eines der drei Ereignisse tritt ein.

a) Als passendes Gegenereignis habe ich mir folgendes überlegt: $\begin{eqnarray*} \overline{A \cup B \cup C} \end{eqnarray*}$

b) Und als passendes Ereignis: $\begin{eqnarray*} (A \cap \overline{B} \cap \overline{C}) \cup (A \cap B \cap \overline{C}) \cup (A \cap \overline{B} \cap C) \cup (A \cap B \cap C) \end{eqnarray*}$
Nur habe ich das Gefühl, dass sich das irgendwie einfacher schreiben ließe?

Sind die Punkte a und b soweit überhaupt korrekt?

Edit: Bitte um Verschiebung in das Stochastik-Forum, hab versehentlich das falsche Unterforum gewählt.

07.03.2010, 15:40

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Zitat:

Original von hnr
a) Als passendes Gegenereignis habe ich mir folgendes überlegt: $\begin{eqnarray*} \overline{A \cup B \cup C} \end{eqnarray*}$

Das ist richtig - und wie lautet dann das Ereignis selbst? Augenzwinkern

Zitat:

Original von hnr
b) Und als passendes Ereignis: $\begin{eqnarray*} (A \cap \overline{B} \cap \overline{C}) \cup (A \cap B \cap \overline{C}) \cup (A \cap \overline{B} \cap C) \cup (A \cap B \cap C) \end{eqnarray*}$

Das ist nur eine andere Schreibweise für das Ereignis $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , nicht aber für das gesuchte Ereignis.

07.03.2010, 15:51

hnr

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Das ist richtig - und wie lautet dann das Ereignis selbst? Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} A \cup B \cup C \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von Arthur Dent
Das ist nur eine andere Schreibweise für das Ereignis $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , nicht aber für das gesuchte Ereignis.

Dem kann ich nicht ganz folgen.
In Worten bedeutet doch das: Entweder eines oder zwei (mit zwei versch. Möglichkeiten) oder drei Ereignisse treten ein. Und das ist doch genau das, was "mindestens eines von drei Ereignissen" ausdrückt, oder nicht? Warum sollte damit A alleine ausgedrückt werden?

07.03.2010, 16:07

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Zitat:

Original von hnr

Zitat:

Original von Arthur Dent
Das ist richtig - und wie lautet dann das Ereignis selbst? Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} A \cup B \cup C \end{eqnarray*}$ ?

Genau - das ist die gesuchte Umsetzung von

"Mindestens eins der Ereignisse A,B,C tritt ein."

Zitat:

Original von hnr

Zitat:

Original von Arthur Dent
Das ist nur eine andere Schreibweise für das Ereignis $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , nicht aber für das gesuchte Ereignis.

Dem kann ich nicht ganz folgen.

Rechne es doch nach: Es ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , was du da geschrieben hast:

$\begin{eqnarray*} ((A \cap \overline{B} \cap \overline{C}) \cup (A \cap B \cap \overline{C})) \cup ((A \cap \overline{B} \cap C) \cup (A \cap B \cap C)) &=& ((A \cap \overline{C})\cap (\overline{B} \cup B)) \cup ((A \cap C)\cap (\overline{B} \cup B))\\ &=& (A \cap \overline{C}) \cup (A \cap C) = A \cap (\overline{C} \cup C) = A \end{eqnarray*}$

Und wenn dich die symbolische Rechnung überfordert: Zeichne es dir im Venn-Diagramm auf.

07.03.2010, 16:12

hnr

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Ok, vielen Dank!

Wie siehts denn aus mit "Höchstens zwei der drei Ereignisse treten ein"?

Als Gegenereignis wurde dazu notiert: "Alle drei Ereignisse treten ein"

Daher ist das Ereignis: $\begin{eqnarray*} \overline{A \cap B \cap C} \end{eqnarray*}$

Lässt sich das noch irgendwie anders schreiben?

07.03.2010, 16:14

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Mit den deMorgan-Regeln könntest du es noch zu $\begin{eqnarray*} \overline{A} \cup \overline{B} \cup \overline{C} \end{eqnarray*}$ umschreiben - ist aber Geschmackssache.

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