Surjektivität zeigen

07.03.2010, 22:42

tollesforumhier

Surjektivität zeigen

Hallo,

ums kurz und schmerzlos zu machen.

Sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x \mapsto 2x+1 \end{eqnarray*}$ .

Mir ist klar, dass diese Funktion surjektiv ist. Es gilt: $\begin{eqnarray*} W(f) = \mathbb {R} \end{eqnarray*}$ .

Ich möchte nur wissen, wie ich das formal beweise. Zu zeigen wäre ja:

$\begin{eqnarray*} \{y|y \in \mathbb {R}, \exists x \in \mathbb {R}: (\langle x,y \rangle \in f) \} = \mathbb {R} \end{eqnarray*}$ .

Reicht es so?

$\begin{eqnarray*} (x \in \mathbb {R}) \Rightarrow 2x+1 =:a \in \mathbb {R} \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} a = y \in \mathbb {R} \end{eqnarray*}$ .

Aus $\begin{eqnarray*} 2x+1 \end{eqnarray*}$ kann man also jede reelle Zahl erzeugen.

Oder reicht das so nicht?

Danke.

07.03.2010, 22:57

papahuhn

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Surjektivität zeigen
Ich kann deine Argumentationskette nicht nachvollziehen. Ist dir das denn selbst einleuchtend? Wo z.B. scheitert deine Argumentation für die Abbildung $\begin{eqnarray*} x \mapsto x^2 \end{eqnarray*}$ ?

07.03.2010, 23:16

tollesforumhier

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Surjektivität zeigen

Zitat:

Original von papahuhn
Ich kann deine Argumentationskette nicht nachvollziehen. Ist dir das denn selbst einleuchtend? Wo z.B. scheitert deine Argumentation für die Abbildung $\begin{eqnarray*} x \mapsto x^2 \end{eqnarray*}$ ?

Na ja, bei $\begin{eqnarray*} x \mapsto x^2 \end{eqnarray*}$ können nur positive Zahlen angenommen werden. Da würde es nicht gehen. Mir fällt aber sonst kein Weg ein, wie ich zeigen kann, dass man aus $\begin{eqnarray*} 2x + 1 \end{eqnarray*}$ mit beliebigem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ jede reelle Zahl erzeugen kann.

07.03.2010, 23:19

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast aber nicht gezeigt, dass jede reelle Zahl angenommen wird, sondern nur, dass jedes reelle x auf eine reelle Zahl abgebildet wird.
Dass wirklich jede getroffen wird ist aber etwas völlig anderes.

Du musst etwas für jedes reelle y zeigen. Nimm also an, y ist eine reelle Zahl und folgere, dass es ein reelles x gibt, das auf y abbildet.

air

07.03.2010, 23:21

papahuhn

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Surjektivität zeigen
Ich gebe dir ein beliebiges $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ vor. Zeige, von welchem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ dieses $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ getroffen wird.

Edit: Zu langsam ...

07.03.2010, 23:25

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Surjektivität zeigen

Zitat:

Original von papahuhn
Edit: Zu langsam ...

Ne, ne - das war/ist dein Thread. Du wurdest bei mir allerdings nicht als online gezeigt, sorry! Augenzwinkern

(Dafür habe ich noch erklärt was falsch war Big Laugh

).
Mach du ruhig weiter.

Edit: Juhu, mein 4.000 Post ist eine Entschuldigung. Big Laugh

air

07.03.2010, 23:28

tollesforumhier

Auf diesen Beitrag antworten »

Äh, ja, danke an euch beide auf jeden Fall. Big Laugh

Na ja.

Für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ trifft folgendes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} x = \frac{y-1}{2} \end{eqnarray*}$

07.03.2010, 23:35

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, nun ist er wohl wirklich offline! Big Laugh

Das ist richtig, aber noch nicht vollständig. Der springende Punkt ist, dass du auch noch sagen musst, dass dieser Ausdruck für jedes y auch wirklich definiert ist und man auch ein reelles x erhält.

Beim Beispiel von papahuhn erhälst du nämlich z.B.: $\begin{eqnarray*} x = \sqrt{y} \end{eqnarray*}$ , also auch einen Ausdruck. Dieser ist aber eben nicht für jedes reelle y definiert (jedenfalls nicht in IR).

Dann hast du also gezeigt, dass jede reelle Zahl von einer anderen reellen Zahl getroffen wird. Das ist Surjektivität in diesem Fall.

air

07.03.2010, 23:41

tollesforumhier

Auf diesen Beitrag antworten »

Einleuchtend und so einfach. Big Laugh

Ich danke euch beiden.

08.03.2010, 00:00

tollesforumhier

Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja, vielleicht ganz kurz nochmal. Reicht es nicht zu sagen (oder sogar zeigen), dass der Term für jedes $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ definiert ist? Dass zusätzlich $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb {R} \end{eqnarray*}$ ist, ist ja sowieso Voraussetzung, da der Definitionsbereich eben $\begin{eqnarray*} \mathbb {R} \end{eqnarray*}$ ist.

08.03.2010, 00:16

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist keine Voraussetzung.
Du musst zeigen:

Für jedes reelle y existiert ein reelles x mit f(x) = y.
Du musst also zeigen:

1) Es gibt ein x mit f(x)=y
2) Dieses x ist reell*

Auch hier wieder das Beispiel von oben. Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} x = \sqrt{y} \end{eqnarray*}$ ist durchaus auch für negative y definiert. Aber dann ist x eben nicht reell.

air

*) Allgemeiner: x ist im Definitionsbereich. Der ist hier ja gerade IR.

Neue Frage »

Antworten »

Surjektivität zeigen

Verwandte Themen