Ein paar Fragen zur Mengenlehre |
| 08.03.2010, 13:28 | wolftaenzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Ein paar Fragen zur Mengenlehre Ich habe mir zum Thema Megenalgebra ein Buch ausgeliehen und ich habe dies bezüglich ein paar Fragen. Laut Definition: "Es seien a und b zwei beliebige Elemente einer Menge M. Das duch (a,b) := {{a,b}, {a}} definierte Objekt heißt geordnete Paar (a,b); ... <- Ich verstehe diese Schreibweise: {{a,b}, {a}} nicht. Genauso wie: "Es seien a,b,c bzw. a1,a2,...,a(n) (n ? N, n größer/gleich 2) Elemente einer Menge M. Das duch (a,b,c) := ((a,b),c) defnierte Objekt heißt geordnete Tripel... <- auch hier verstehe ich die Schreibeweise nicht. ------------------------------------- Stufenaufbau der Mengenlehre: "Das kartesische Produkt A x B ist eine Menge geordneter Paare, enthält also Mengen zweiter Stufe als Elemente und ist deshalb eine Menge dritter Stufe(immer vorausgesetzt, dass A und B Mengen erster Stufe sind)." hmm. <- Ist die Stufe 0 = alle Zahlen, z.b. in N? und da man eine beliebige Anzahl von Zahlen in N zusammenfasst, ergibt sicher daraus, dass A und B jeweils Mengen erster Stufe sind?!. Stufe zwei ist mir auch net so geläufig. Nur weil man die Zahlen ordnet, entspricht dies schon einer nächsten Stufe?!hmpf. und das daraus resultierend AxB automatisch Stufe 3 ist... -------------------------- Jetzt noch einige Fragen: Denn ich bereite mich auf eine, leider weitere, mündliche Prüfung vor. Und ich habe Fragen an euch, bei der ich gerne eure Meinung / Antwort hätte: Und zwar: Warum gibt es Teilmengen, Wozu brauch man die?. Warum sind unendliche Teilmengen interessanter? Fragen, bei denen ich überrascht wurde: Thema: Relation/ML: Bei der Menge N = {0,1,2...} warum schreibt man die 2 nicht zuerst? - Wie nennt man die Zahl z.B. nach der 1 ? Nicht: "die nächst höhere" (im mathematische Sinne) - oder: Mit was fängt z.B. die Menge {3,4,9,7} an? Nicht: "mit der niedrigsten Zahl" (mathematischen Sinne)... Es klingt bescheuert, aber ich wusste dann auch einfach nicht mehr, was ich sagen sollte. Deshalb bitte ich euch nach ein paar Vorschläge. Oder gar die richtige Antwort. Wäre schön, wenn ihr mir helfen könntet: Danke lg, Steffen Meine Ideen: ... |
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| 08.03.2010, 13:52 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Definition des geordneten Paares ist eine Menge, die so festgelegt wird, dass (a,b) von (b,a) unterscheidbar ist (das drückt "geordnet" aus). Bilde doch mal (1,2) und (2,1) - und du siehst, es sind wirklich verschiedene Objekte! Auch die Definition des Tripels will das erreichen. Dazu greift es einfach auf die eingeführte Struktur des Paares zurück und enthält letztlich vor allem das Detail, dass man eine echte "Ordnung" erreicht, (a,b,c) also wirklich etwas anderes ist als (a,c,b) oder (b,c,a) etc. Die "Stufe" einer Menge kannte ich bisher zwar auch nicht, aber es ist recht offensichtlich, dass damit folgendes gemeint ist: Die Menge {1,2,3} enthält "nur" Zahlen, ist also eine Stufe 1. Ordnung. Das ist der Ausgang der ganzen Sache. Wenn eine Menge nun nicht mehr nur eine Zahl, sondern selbst wiederum eine Menge enthält, spricht das Buch wohl von einer Menge der zweiten Stufe, wegen dieser Verschachtelung. Und so setzt sich das fort. Warum ein kartesisches Produkt dann eine Menge 3. Stufe ist, erkennst du, wenn du dir mal zwei Mengen schnappst (z.B. {1,2,3} und {4,5,6}) und das Produkt bildest. Und zu den letzten Fragen: {0,1,2} ist das selbe wie {2,0,1}, da Mengen per Definition nicht geordnet sein sollen. Wenn du nun aber alle natürlichen Zahlen fassen willst und dies mit {0,1,2,...} zum Ausdruck bringst, so wäre es nicht ratsam, mit der 2 zu beginnen, denn man muss ja erstmal die "Pünktchenschreibweise" irgendwie verstehen. Und ob {2,0,1,...} noch reicht, um zu zeigen, dass man alle natürlichen Zahlen meint, ist zweifelhaft. Das ist aber eher ein Problem des intuitiven Verständnisses. Die "Zahl nach der 1" nennt man in aller Regel den Nachfolger von 1. Meinst du das? Und zuletzt: Eine Menge fängt bei keiner Zahl an. {3,4,9,7} ist das selbe wie {4,9,7,3}, der Begriff "Anfang der Menge" ist also sinnlos, solange du keine vernünftige Definition dafür einführst, die berücksichtigt, dass die Menge nicht geordnet ist. air P.S.: Mit der Ordnung der Menge meine ich hier durchweg die "Reihenfolge der Elemente". |
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| 08.03.2010, 15:26 | wolftaenzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke, das war schonmal sehr hilfreich. Du meintest: Per Definition sollen die Mengen nicht geordnet sein. Die Menge N der natürlichen Zahlen ist die denn nicht geordnet? und bei der Menge A = {4,5,8,3} <- wenn man die Elemente in eine Reihenfolge bringt, wie erklärt man sich dann, mit welcher Zahl die Menge beginnen soll? Ohne solche Ausdrücke wie: "die niedrigste" zu verwenden?! |
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| 08.03.2010, 15:42 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Beachte, was ich unten noch gesagt habe. Die Reihenfolge der Elemente spielt in keiner Menge eine Rolle, also auch nicht in der Menge der natürlichen Zahlen. Dennoch gibt es eine "Ordnung" auf IN, wenn du damit meinst, dass du die Elemente untereinander vergleichen willst (das ist die "Kleiner"-Relation). Aber wie gesagt, ich bezog mich auf die Reihenfolge der Elemente innerhalb der Menge.
Gar nicht, denn eine Menge hat weder soetwas wie einen Anfang, noch ein Ende. Das gibt es schlichtweg nicht. Stell dir eine Menge wie ein Sack vor, in den du Objekte (z.B. Obst) reinwirfst. Macht es da Sinn, darüber zu reden, ob nun der Apfel oder die Birne der "Anfang des Sacks" ist? (Wenn dein Buch einen "Anfang" für Mengen definiert, ist das vielleicht anders. Dann solltest du die Definition hier aber mal hinschreiben, ein allgemein bekannter Begriff ist es jedenfalls nicht.) air |
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| 08.03.2010, 16:14 | wolftaenzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Reihenfolge der Elemente spielt in keiner Menge eine Rolle, also auch nicht in der Menge der natürlichen Zahlen. Dennoch gibt es eine "Ordnung" auf IN, wenn du damit meinst, dass du die Elemente untereinander vergleichen willst (das ist die "Kleiner"-Relation). Aber wie gesagt, ich bezog mich auf die Reihenfolge der Elemente innerhalb der Menge. Da hab ich sogar noch eine zusätzlich fraege die "kleiner-relation": Warum ordnet die ? |
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| 08.03.2010, 16:31 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ... Das ist die Ordnung, die durch die Kleiner-Relation entsteht. Siehe dazu wikipedia-Artikel Ordnungsrelation Unter Berücksichtigung der Kleiner-Relation auf IN (oder einer Teilmenge davon) würde auch der begriff "Anfang der Menge" dann Sinn machen, wenn man den Anfang als minimales Element definiert. air |
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| 09.03.2010, 13:43 | wolftaenzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
vielen dank! hat mir gut weiter geholfen |
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| 09.03.2010, 14:09 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi, eine kleine Korrektur (meine Unaufmerksamkeit) sollte ich noch einbringen. Die Kleiner-Relation ist genau genommen nur eine Quasiordnung, da sie nicht antisymmetrisch ist. Zur wirklichen Ordnung wird es, wenn man "Kleiner-Gleich" ( ) betrachtet, denn dann ist die Relation auch antisymmetrisch. air |
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| 09.03.2010, 14:59 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Kleiner-Relation ist antisymmetrisch ("ex falso quodlibet"), aber nicht reflexiv und daher auch keine Quasiordnung... 
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