Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren

08.03.2010, 17:56

Zerrox

Auf diesen Beitrag antworten »

Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren

Hi Leute,

ich habe hier eine Aufgabe und soll prüfen, ob die Vektoren linear abhängig sind:

a1 = (1 / -2 / 3)
a2 = (1 / 2 / 1)
a3 = (1 / 0 / 1)

Jetzt habe ich es so verstanden, dass ich diese Vektoren in eine Matrix-Form bringen kann und dann irgendwie alles gleich 0 und dann sind sie linear abhängig oder auch nicht.. ?!

Das Ganze hat mich jetzt aber ziemlich verwirrt und deshalb frage ich hier noch einmal, wie genau muss ich vorgehen, um zu prüfen, ob die Vektoren linear abhängig sind?

MfG

08.03.2010, 18:18

Zerrox

Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich habe mich jetzt ein wenig schlau gemacht und fogendes gelesen:

"Am einfachsten geht es, die Vektoren als Zeilenvektoren (oder Spaltenvektoren) einer (3x3)-Matrix aufzufassen und die Determinante auszurechnen. Ist die Determinante 0, so sind die Vektoren linear abhaengig, andernfalls sind sie linear unabhaengig."

Wie ist das denn hier gemeint?

Soll ich das also so aufschreiben:

1*a1 - 2*a2 + 3*a3 = 0
1*a1 + 2*a2 + 1*a3 = 0
3*a1 + 1*a2 + 1*a3 = 0

Wie könnte ich hier nun die Determinante ausrechnen?
Einfach so:

(1a1 * 2a2 * 1a3) - (3a3 * 2a2 * 3a3) = 2 - 18 = - 16

Also linear unabhängig?

08.03.2010, 18:23

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast jetzt ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Variablen, löse das einfach auf; wenn du als einzige Lösunge $\begin{eqnarray*} a_1=a_2=a_3=0 \end{eqnarray*}$ erhälst, sind die Vektoren linear unabhängig, ansonsten linear abhängig. Du musst das gar nicht über die Determinante machen Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.03.2010, 18:25

Zerrox

Auf diesen Beitrag antworten »

Also soll ich versuchen diese Gleichung auf die "Stufenform" (sprich; 2. Zeile eine Null, 3. Zeile zwei Nullen) bringen??

1*a1 - 2*a2 + 3*a3 = 0
1*a1 + 2*a2 + 1*a3 = 0
3*a1 + 1*a2 + 1*a3 = 0

08.03.2010, 18:28

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig

Freude

08.03.2010, 18:31

Zerrox

Auf diesen Beitrag antworten »

Und wenn die Stufenfrom klappt, dann sind die Vektoren linear unabhängig, und wenn es nicht klappt, sind sie halt linear abhängig, richtig?

Anzeige

08.03.2010, 18:35

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Lies nochmal was ich geschrieben habe:

Zitat:

wenn du als einzige Lösung $\begin{eqnarray*} a_1=a_2=a_3=0 \end{eqnarray*}$ erhälst, sind die Vektoren linear unabhängig, ansonsten linear abhängig.

08.03.2010, 18:38

Zerrox

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, sorry, aber, ich verstehe das nicht genau, wie du es sagst..

Wie meinst du das denn, wenn a1 = a2 = a3 = 0 ist?

08.03.2010, 18:43

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Moment...du hattest die Vektoren schon damit benannt...

Nochmal von vorne, du hast 3 Vektoren, nennen wir sie jetzt zur Verdeutlichung mal anders: $\begin{eqnarray*} \vec x=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix},~\vec y=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix},~\vec z = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn du dir jetzt das Gleichungssystem aufstellst $\begin{eqnarray*} a_1 \cdot \vec x + a_2 \cdot \vec y + a_3\cdot \vec z=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und löst, und am Ende als Lösung nur $\begin{eqnarray*} a_1=a_2=a_3=0 \end{eqnarray*}$ erhälst, dann sind die Vektoren linear abhängig.

08.03.2010, 18:46

Zerrox

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber das ist doch unlogisch, denn wenn beim Gleichungssystem das Ergebnis immer 0 ist, dann wird doch auch die Lösung immer 0 sein?!

08.03.2010, 18:51

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Guck es dir hier mal an:

Beispiel: $\begin{eqnarray*} \vec x =\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} ,~ \vec y =\begin{pmatrix} 1{,}5 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , mit den beiden Vektoren bekommt man $\begin{eqnarray*} a\cdot \vec x + b\cdot \vec y=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und damit das Gleichungssystem:

$\begin{eqnarray*} a+1{,}5b=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2a-3b=0 \end{eqnarray*}$

Wenn man das Gleichungssystem löst, erhält man unendlich viele Lösungen, diese beiden Vektoren sind also linear abhängig.

08.03.2010, 18:54

Zerrox

Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie erkenne ich, ob ein Gleichungssystem unendlich viele Gleichungen hat?
Dass die Lösung nicht gleich 0 ist, oder wie?

Man, ich komme einfach nicht dahinter, wie ich diese dumme Aufgabe lösen kann.. >.>

edit/

ich hatte jetzt meine vektoren in die Stufenform gebracht:

444 = 0
084 = 0
001 = 0

Okay, Stufenform hat geklappt, heißt das jetzt, dass sie linear unabhängig sind?

08.03.2010, 19:03

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Lösen wir das Beispiel doch mal auf:

$\begin{eqnarray*} a+1{,}5b=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2a-3b=0 \end{eqnarray*}$

Addieren wir die erste Gleichung zweimal auf die zweite:

$\begin{eqnarray*} a+1{,}5b=0 \end{eqnarray*}$
[/latex]0=0[/latex], also müssen wir uns einen Parameter wählen, wählen wir uns also $\begin{eqnarray*} b=t, ~t\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} a+1{,}5b=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a=t \end{eqnarray*}$

Jetzt subtrahieren wir von der ersten Gleichung 1,5-mal die zweite:

$\begin{eqnarray*} a=-1{,5}t,~b=t \end{eqnarray*}$

Damit haben wir unendlich viele Lösungen, also sind die Vektoren linear abhängig.

Bei dir kann man das ganze auf Stufenform bringen, wie kann man die Matrix denn jetzt wieder zurück in eine Gleichung interpretieren?

08.03.2010, 19:08

Zerrox

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Iorek
Lösen wir das Beispiel doch mal auf:

$\begin{eqnarray*} a+1{,}5b=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2a-3b=0 \end{eqnarray*}$

Addieren wir die erste Gleichung zweimal auf die zweite:

$\begin{eqnarray*} a+1{,}5b=0 \end{eqnarray*}$
[/latex]0=0[/latex], also müssen wir uns einen Parameter wählen, wählen wir uns also $\begin{eqnarray*} b=t, ~t\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} a+1{,}5b=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a=t \end{eqnarray*}$

Jetzt subtrahieren wir von der ersten Gleichung 1,5-mal die zweite:

$\begin{eqnarray*} a=-1{,5}t,~b=t \end{eqnarray*}$

Damit haben wir unendlich viele Lösungen, also sind die Vektoren linear abhängig.

Bei dir kann man das ganze auf Stufenform bringen, wie kann man die Matrix denn jetzt wieder zurück in eine Gleichung interpretieren?

Das müsste dann ja für die Stufenfrom heißen, dass wenn diese Stufenform tatsächlich klappt, dass dann keine Variable frei wählbar ist und die Vektoren somit linear unabhängig sind oder?

Und wenn die letzte Zeile aus drei Nullen besteht, muss man einen beliebigen Parameter wählen, erhält dadurch unendlich Lösungen, ergo sind Vektoren linear abhängig, richtig?

08.03.2010, 19:10

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz genau Freude

Freude

08.03.2010, 19:11

Zerrox

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, vielen Dank!! Wink

Wink

Jetzt hab ich's endlich! x)

Danke kann hier geclosed werden.

Danke noch einmal! smile

smile

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »