offene Überdeckung abzählbar?

08.03.2010, 20:38

der Picknicker

offene Überdeckung abzählbar?

Meine Frage:
Hallo!
Wir haben offene Überdeckungen wie folgt definiert:
Unter einer offenen Überdeckung einer Menge E in einem metrischen Raum X verstehen wir eine Familie offener Mengen $\begin{eqnarray*} \left\{ G_{i} : i\in I,G_{i}\subseteq X offen\right\} \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} E\subseteq \bigcup _{i\in I}G_{i} \end{eqnarray*}$

dies sind doch nun abzählbar viele $\begin{eqnarray*} G_{i} \end{eqnarray*}$ denn so eine Indexmenge ist ja eine Teilmenge der Natürlichen Zahlen (oder ist genau das mein Fehler?). Eine Menge ist kompakt wenn zu jeder offenen Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung existiert die selbst wieder offen ist.
Nun wird bewiesen dass jede kompakte Menge K abgeschlossen und beschränkt ist. Dazu seien $\begin{eqnarray*} \forall x\in K \end{eqnarray*}$ die Mengen $\begin{eqnarray*} U_{x}:=U_{1}(x):=\left\{ y\in X:d(x,y)<1\right\} \end{eqnarray*}$ definiert. Somit $\begin{eqnarray*} K\subset \bigcup _{x\in K}U_{x} \end{eqnarray*}$ klar, aber jetzt meine Problem:
aufgrund der kompaktheit von K existiert eine endliche Teilüberdeckung $\begin{eqnarray*} \left\{ U_{x_{i}}:i=1,...,n\right\} \end{eqnarray*}$ nun ist K ja nicht mehr zwingend abzählbar (z.B. abgeschlossene Intervalle in R) und $\begin{eqnarray*} U_{x} \end{eqnarray*}$ keine offene Überdeckung mehr.

Meine Ideen:
oder ist eine solche Indexmenge überhaupt nicht (unbedingt) abzählbar und das waren immer nur in unseren Beispielen Teilmengen der natürlichen Zahlen (leider habe ich keine definition gefunden was tatsächlich dafür sprechen würde, dass hier eine belibge Menge gemeint ist). Dann wäre natürlich alles gut und ich hätte nur drei Semester lang nicht verstanden was eine Indexmenge ist. Danke schonmal fürs lesen..

08.03.2010, 20:43

Airblader

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Hi,

dein eigener Einwand ist richtig.
Eine solche Indexmenge ist nicht zwingend abzählbar unendlich, sie kann auch überabzählbar unendlich sein. Wenn man eine abzählbar unendliche Menge möchte schreibt man i.d.R. einfach IN als Indexmenge.

air

08.03.2010, 20:59

giles

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Nicht jede Indexmenge ist abzählbar, das stimmt.
Es ist aber nicht so (wie du meinst), dass abzählbare Indexmengen automatisch Teilmengen der natürlichen Zahlen sind. Vielmehr bedeutet Abzählbarkeit, dass eine Bijektion zu den natürlichen Zahlen existiert. 5 Äpfel sind ja auch abzählbar, aber selbst sicherlich keine natürlichen Zahlen...

08.03.2010, 21:29

der Picknicker

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perfekt, dann passt es. Vielen Dank

Zitat:

Original von giles
Nicht jede Indexmenge ist abzählbar, das stimmt.
Es ist aber nicht so (wie du meinst), dass abzählbare Indexmengen automatisch Teilmengen der natürlichen Zahlen sind.

Ja ist klar. meinte ich auch nicht, dachte jede Indexmenge wäre Teilmenge der natürlichen Zahen (was der Fehler war) und somit abzählbar, nicht dass abzählbar sofort Teilmenge von N ist. Natürlich sind auch z.B. die rationalen Zahlen abzählbar, trotzdem danke für den Hinweis!

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