Beweis: Grenzwert Eulersche Zahl

08.03.2010, 23:04

ele5559

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Beweis: Grenzwert Eulersche Zahl

Meine Frage:
Es geht um diese Aufgabe:

Gib für folgende Folge das allgemeine Glied $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ an, zeige ob die Folge konvergiert, und berechne ihren Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} a_1=1 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
1. also, dass
$\begin{eqnarray*} a_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1} {\frac{1}{k!}} \end{eqnarray*}$
ist mir schon klar, aber bei den anderen Beispielen war es durch Umformen, geschicktes Multiplizieren etc. immer möglich des Summenzeichen wegzubekommen und eine Formel für $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ herauszubekommen. Da finde ich keine...

2. Dass die Folge konvergiert habe ich - denke ich - mit der Differenz $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }{(a_{n+1}-a_n)}=0 \end{eqnarray*}$ gezeigt. Aber wogegen? "Ist gleich e, weil das ist so" reicht wahrscheinlich nicht als Antwort, wir haben e in der Vorlesung als $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}{(1+\frac{1}{x})^x} \end{eqnarray*}$ definiert. Und ich denke, ich sollte nachweisen, dass diese beiden Limes (der definierte und der im Beispiel) ident sind. Aber ich hab keinen Plan, wie unglücklich

unglücklich

Hoffe, Ihr habt Tipps. Danke

08.03.2010, 23:28

outSchool

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RE: Beweis: Grenzwert Eulersche Zahl

Zitat:

Original von ele5559
. . .
Meine Ideen:
1. also, dass
$\begin{eqnarray*} a_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1} {\frac{1}{k!}} \end{eqnarray*}$
ist mir schon klar, . . .

2. Dass die Folge konvergiert habe ich - denke ich - mit der Differenz $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }{(a_{n+1}-a_n)}=0 \end{eqnarray*}$ gezeigt. Aber wogegen? "Ist gleich e, weil das ist so" reicht wahrscheinlich nicht als Antwort, wir haben e in der Vorlesung als $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}{(1+\frac{1}{x})^x} \end{eqnarray*}$ definiert. Und ich denke, ich sollte nachweisen, dass diese beiden Limes (der definierte und der im Beispiel) ident sind. Aber ich hab keinen Plan, wie unglücklich

unglücklich

Hoffe, Ihr habt Tipps. Danke

Du kannst $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ mit einem Potenzreihenansatz herleiten, und zwar:

Gesucht ist eine Funktion f(x), für die f'(x) = f(x) und f(0) = 1 gilt. Der Potenzreihenansatz mit unbestimmten Koeffizienten ist dann

$\begin{eqnarray*} f(x) = c_0 + c_1x + c_2x^2 + . . . \end{eqnarray*}$

und durch Differentiation

$\begin{eqnarray*} f'(x) = c_1 + 2c_2x + 3c_3x^2 + . . . \end{eqnarray*}$

Aus der Forderung f'(x) = f(x) ergibt sich für jedes $\begin{eqnarray*} n \geq 0 \end{eqnarray*}$ die Gleichung

$\begin{eqnarray*} n \cdot c_n = c_{n-1} \end{eqnarray*}$

Damit müsstest du jetzt alleine weiterkommen.

08.03.2010, 23:36

ele5559

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Die Überlegung, was passiert, wenn man mal f'(x)=f(x) gesetzt hat, kann ich nachvollziehen, nur warum man das annimmt, und was man danach damit macht ist mir noch nicht klar verwirrt

verwirrt

...ich denk, ich google mal "Potenzreihenansatz" dann bin ich vielleicht klüger

08.03.2010, 23:51

outSchool

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Mit dem Potenzreihenanstz setzt man voraus, dass die e-Funktion die einzige Funktion mit den genannten Eigenschaften ist.
Eine weitere Möglichkeit ist, zu zeigen, dass beide Reihen gegen e konvergieren. Das ist etwas umfangreicher.

08.03.2010, 23:55

Kühlkiste

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RE: Beweis: Grenzwert Eulersche Zahl
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=a_n+\frac 1{n!}\Rightarrow a_{n+1}-a_n=\frac 1{n!} \end{eqnarray*}$

Teleskopsumme!

09.03.2010, 00:10

ele5559

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@ outSchool

Ok! Jede Folge - und nur eine solche - für die ich einen Potenzreihenansatz finde konvergiert gegen e, richtig?

Forum Kloppe

Forum Kloppe

Das heißt, selbstverständlich auch alle, für die ich keinen Potenzreihenansatz finde, wo man aber einen finden könnte Freude

Freude

und ein Potenzreihenansatz ist immer f(x) = f'(x).

Denke, diese Lösung übersteigt zwar das von uns geforderte Wissen (Anfängerübung!), aber auf jeden Fall weiß ich wie ichs löse, wenn ich aufgerufen werde smile

smile

bin gespannt, was eigentlich verlangt war.

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09.03.2010, 00:15

ele5559

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@Kühlkiste

mit Teleskopsummen hab ich die meisten anderen Beispiele gelöst, das heißt ich denke, das war der Plan.

Also meistens waren das irgendwelche unendliche Summen, die man mit 1-b.a oder 1-(1-p) oder so erweitern musste, und dann hatte man einen Bruch und es blieb im Nenner nur das erste und das letzte Glied übrig...

Aber hier konnte ich nichts finden traurig

traurig

bin ich blind?

09.03.2010, 00:22

Kühlkiste

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Zitat:

Original von ele5559
Aber hier konnte ich nichts finden traurig

traurig

bin ich blind?

Na hoffentlich nicht...

Was ist denn:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)~? \end{eqnarray*}$

Schreib doch mal die ersten 3 oder 4 Summanden hin!

09.03.2010, 00:31

gonnabphd

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Das Problem besteht wohl eher darin, dass sie e nur über (1+1/n)^n definiert haben und nicht über diese Reihenentwicklung...

09.03.2010, 00:38

ele5559

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verwirrt

ja bei der Summe aller $\begin{eqnarray*} a_{k+1}-a_{k} \end{eqnarray*}$ fallen mir alle mittleren Glieder schön weg, aber wie komme ich von meiner ursprünglichen Reihe auf diese Differenz?

09.03.2010, 00:58

ele5559

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so, werde das morgen nochmal in Ruhe durchdenken.

Für heute bin ich zu müde.. Schläfer

Schläfer

Danke für alle Tipps.

09.03.2010, 00:59

Kühlkiste

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Zitat:

Original von ele5559
verwirrt

verwirrt

ja bei der Summe aller $\begin{eqnarray*} a_{k+1}-a_{k} \end{eqnarray*}$ fallen mir alle mittleren Glieder schön weg, aber wie komme ich von meiner ursprünglichen Reihe auf diese Differenz?

Was meinst Du denn jetzt mit Deiner ursprünglichen Reihe? verwirrt

verwirrt

Laut Aufgabenstellung solltest Du doch zunächst einmal eine explizite Darstellung (das allgemeine Folgenglied) der Folge angeben.

Aus der Rekursionsformel folgt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)=\sum_{k=1}^n\frac 1{k!}. \end{eqnarray*}$

Und wegen $\begin{eqnarray*} a_n-1=\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k) \end{eqnarray*}$ gilt dann:

$\begin{eqnarray*} a_n=\sum_{k=0}^{n-1}\frac 1{k!}. \end{eqnarray*}$

Mit Sicherheit habt ihr in der Vorlesung gezeigt, dass

$\begin{eqnarray*} \operatorname{exp}(1)=\sum_{n=0}^\infty \frac 1{n!}=e. \end{eqnarray*}$

Womit dann alles klar sein sollte.

09.03.2010, 01:58

Urza

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Kühlkiste: Ich glaube, das Problem ist gerade, dass $\begin{eqnarray*} e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$ eben (noch) nicht bekannt ist.

ele5559: Die Konvergenz der Summenfolge $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ folgt nicht schon aus $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n!} = 0 \end{eqnarray*}$ . Zum Beispiel divergiert die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ , obwohl $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 0 \end{eqnarray*}$ gilt! Die Konvergenzfrage ist also mit den bisher genannten Argumenten noch nicht geklärt. Du kannst ja nochmal versuchen, das selbst zu zeigen.
Den Grenzwert selbst zu berechnen, wenn man die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ vorher noch nie gesehen hat und die Zahl e nur von der Definition $\begin{eqnarray*} e=\lim_{n\to\infty} \left( 1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$ her kennt, finde ich als Anfängerübungsaufgabe ziemlich schwer. Deshalb verweise ich dazu mal auf eine fertige Lösung. Vielleicht willst du aber erst selbst nochmal probieren? In dem Fall Ansatz: Zu zeigen ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} = \lim_{n\to\infty} \left( 1+\frac{1}{n}\right)^n = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} \frac{1}{n^k} \end{eqnarray*}$ (die letzte Gleichheit gilt ja nach dem binomischen Satz); zeige getrennt " $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ " und " $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ ". Sonst befindet sich eine Lösung auf dieser Webseite (der Teil unter "Der folgende direkte Beweis"). Aus der dort angegebenen zweiten Abschätzung folgt auch insbesondere die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ , wenn schon die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \left( 1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$ bekannt ist (wie?).

09.03.2010, 17:21

ele5559

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@urza: oh ja, da hab ich Mist gebaut. Ich hab mir eingebildet, es gibt was, das ich Differenz-Kriterium nennen wollte (das war mein $\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n \end{eqnarray*}$ ) Sehe jetzt, dass ich das bei anderen Beispielen auch falsch gemacht hab. Das muss ein Quotientenkriterium sein:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$

Vielleich sollte ich stattdessen lieber zeigen: a) monoton steigend (das ist ja leicht gezeigt) und b) beschränkt

09.03.2010, 17:39

ele5559

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hoppla, hab statt Vorschau auf abschicken geklickt und war beim editieren zu langsam:

Beitrag sollte so aussehen:

@urza: oh ja, da hab ich Mist gebaut. Ich hab mir eingebildet, es gibt was, das ich Differenz-Kriterium nennen wollte (das war mein $\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n \end{eqnarray*}$ ) Sehe jetzt, dass ich das bei anderen Beispielen auch falsch gemacht hab. Es gibt nur ein Quotientenkriterium:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$

Bedeutet in diesem Fall:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty {\frac{1}{k!}} \end{eqnarray*}$

konvergiert wenn:

$\begin{eqnarray*} \frac {\frac{1}{(k+1)!}}{\frac{1}{k!}} = \frac {1}{k+1} \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

und das ist ab k=1 wahr, also konvergiert die Summe.

Den Beweis mit >= und <= hab ich mir angesehen. Denke aber echt, dass das alles relativ kompliziert scheint, für das wenige, das wir bis jetzt gemacht haben.

09.03.2010, 18:34

Urza

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Zitat:

Original von ele5559
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty {\frac{1}{k!}} \end{eqnarray*}$

konvergiert wenn:

$\begin{eqnarray*} \frac {\frac{1}{(k+1)!}}{\frac{1}{k!}} = \frac {1}{k+1} \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

und das ist ab k=1 wahr, also konvergiert die Summe.

Das ist richtig.

Zitat:

Den Beweis mit >= und <= hab ich mir angesehen. Denke aber echt, dass das alles relativ kompliziert scheint, für das wenige, das wir bis jetzt gemacht haben.

Bist du sicher, dass ihr die Exponentialreihe noch nicht hattet? Manchmal werden an der Uni auch Aufgaben gestellt, bei denen mehr oder weniger erwartet wird, dass man die Lösung irgendwo nachschlägt..
edit: Zumindest soll es Aufgabensteller geben, die in diesem Ruf stehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

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