Beweis Orthogonalität+lineare U.

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08.03.2010, 23:26	citti	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Orthogonalität+lineare U. Hallo, habe gerde ein Problem bei einem Beweis. Wie zeigt man, dass senkrecht aufeinander stehende Vektoren stets linear unabhängig sind? Also eigentlich ist der Beweis ganz einfach glaube ich, aber ich weiß nicht, wie ich es zusammenbringen soll. Das Skalarprodukt <x,y>=0 für zwei senkrecht stehende Vektoren. Und wenn die Basis eines Vektorraums beispielsweise (x1,...,xn) ist, dann sind die Vektoren x1,...,xn ja lin. unabhängig und es gilt u1x1+....+unxn=0 (u:=Skalar). Aber wie bringe ich die beiden Vorraussetzungen jetzt zusammen? Und der Beweis gilt doch nur für vom Nullvektor verschiedene Vektoren, oder?
09.03.2010, 00:04	Eierkopf	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Orthogonalität+lineare U. Aus der linearen Abhängigkeit zweier Vektoren folgt ihre Kollinearität, die im Skalarprodukt berücksichtigt leicht erkennbar werden lässt, dass für vom Nullvektor verschiedene Vektoren ein Widerspruch erzeugt wird.
09.03.2010, 10:43	citti	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber bringt mich das jetzt weiter? Ich weiß ja immer noch nicht, wie ich beweisen kann, dass zwei Vektoren (außer Nullvektor), die orthogonal zueinander sind, auch linear unabhängig sind.
09.03.2010, 10:46	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei u1x1+....+unxn=0 Bilde jetzt das Skalarprodukt <u1x1+....+unxn,u1x1+....+unxn> = <0,0> und folgere etwas über die Koeffizienten u1,...,un
09.03.2010, 13:00	citti	Auf diesen Beitrag antworten »
u1,...un sind =0, da die Vektoren x1,...xn linear unabhängig sind. Ist es damit schon bewiesen?
09.03.2010, 13:03	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Du willst doch beweisen dass die Vektoren linear unabhängig sind. Dazu kannst du doch nicht annehmen dass die Vektoren l.u. sind. Also rechne einmal das Skalarprodukt aus
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09.03.2010, 13:18	citti	Auf diesen Beitrag antworten »
WIe du ja geschrieben hast, ist das Skalarprodukt <0,0>, also 0 oder? Kann ja nicht anders sein.
09.03.2010, 13:30	citti	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann natürlich das Skalarprodukt auch weiter ausformulieren... also <u1x1+...+unxn,u1x1+...+unxn>=<u1x1,u1x1+...+unxn> + <unxn,u1x1+...+unxn> = <u1x1,u1x1> + <u1x1,unxn> + <unxn,u1x1> + <unxn,unxn> = u1u1<x1,x1>+u1un<x1,xn>+ unu1<xn,x1> + unun<xn,xn> und da die Skalarprodukte jeweils 0 sind, aufgrund der Orthogonaltität, kommt insgesamt 0 raus...aber was sagt mir das jetzt über die Skalare aus? Die müssten doch auch eigentlich =0 sein oder?
09.03.2010, 13:52	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Da fehlen aber einige Terme, wie kommst du denn bitte auf diese Umformungen? Rechne es nochmal konzentriert durch, vllt. zum Verständnis einmal mit n=3 oder so
09.03.2010, 14:07	citti	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Umformung ist auf jeden Fall richtig. Das ist Umgeformt mit Kriterien der Homogenität und Additivität. Ich weiß nur nicht, ob mir das was für den Bweis bringt. Ich weiß leider nicht wie du das mit dem Rechnen meinst.... Denke, dass mein Weg gar nicht so falsch ist, aber ich komme da eben nicht weiter.
09.03.2010, 14:26	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein die Umformung ist nicht richtig, rauskommen sollte am Ende $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n u_i^2 \langle x_i,x_i\rangle \end{eqnarray}$ . Und das tut es bei dir nicht, bei dir fehlen ziemlich viele Terme zwischen 1 und n da du irgendwie nur diese beachtet hast?!
09.03.2010, 14:48	citti	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber das kommt doch bei mir dann eigentlich auch raus. Meiner letzter Schritt sah ja so aus.. u1u1<x1,x1>+u1un<x1,xn>+ unu1<xn,x1> + unun<xn,xn>. Ich weiß ja nicht, ob man das Kriterium von Orthonormalbasen mit benutzen kann. Das heißt ja <ei,ej>=0 für alle i ungleich j. also würde dann bei meinem Schritt nur noch u1 hoch 2 <x1,x1> +...+ un hoch2 <xn,xn> stehen bleiben. Der Rest ist ja O. Wäre das dann nicht das gleiche, was du gesagt hast?
09.03.2010, 14:51	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Tja, nicht nur das du eine unklare Pünktchen-Schreibweise benutzt, du vergisst sogar die Pünktchen! So wie es bei dir da steht ist das aber sowas von ungleich zu meinem.... Natürlich darfst du verwenden dass $\begin{eqnarray} \langle x_i,x_j\rangle = 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i\neq j \end{eqnarray}$ . Das ist doch immerhin deine Vorraussetzung. Jetzt musst du nur noch folgern dass $\begin{eqnarray} u_i = 0 \end{eqnarray}$ für jedes i ist
09.03.2010, 15:08	citti	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ja <x1,x1>=1=<xn,xn>, aber das Skalarprodukt aufgrund der Orthogonalität 0 sein muss, muss ich vielleicht mit dem Homogenitätskriterium das Skalar nach innen bringen. Also quasi <x1,u1*x1>=0 und dann folgt ja, dass das u= 0 sein muss, oder?
09.03.2010, 15:10	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein du darfst nicht annehmen dass die $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ auch normalisiert sind. D.h. das Skalarprodukt muss nicht 1 sein. Schau dir doch mal die Gleichung $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n u_i^2 \langle x_i,x_i\rangle = 0 \end{eqnarray}$ mal genau an. Insbesondere schaue welche Terme positiv sind!
09.03.2010, 15:20	citti	Auf diesen Beitrag antworten »
mmh...<xi,xi> ist ja IIxiII hoch 2 und das muss ja immer größer 0 sein. Kann man vielleicht deswegen davon ausgehen, dass u=0 sein muss? Eine andere Idee habe ich glaube ich nicht mehr.
09.03.2010, 15:25	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, aber das musst du schon genauer begründen. Untersuche den zweiten Term noch in der Summe und nehme an ein $\begin{eqnarray} u_i \end{eqnarray}$ ist ungleich 0. Führe dies zum Widerspruch
09.03.2010, 15:48	citti	Auf diesen Beitrag antworten »
Tjaa, also ich könnte sagen, dass u1 hoch2* IIx1II hoch2+....+un hoch2* IIxnII hoch 2=0, dann folgt u1 hoch2 =0=...=un hoch2, da IIx1II hoch 2 >0 sein muss etc. Angenommen u1 ungleich 0, dann folgt: - u1 hoch2* IIx1II hoch2 = u2 hoch 2IIx2II hoch2+....+ un hoch2IIxnII hoch2 dauaus folgt: IIx1II hoch2= (-1)u2 hoch2/ u1hoch2 IIx2II +...+ (-1)un hoch2/u1 hoch2 IIxnII. Das ist dann wahrscheinlich ein Widerspruch...aber warum?
09.03.2010, 15:50	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreibe das ganze mit nochmal mit dem Formeleditor. Einfach unleserlich. Währenddessen denke nochmal genau darüber nach warum ist so auf positiv rumhacke
09.03.2010, 16:05	citti	Auf diesen Beitrag antworten »
Also mit dem Formeleditor das kann ich nicht Aber wenn dann u1 ungleich 0 ist, dann folgt ja, dass IIx1II^2= (-1)u2^2/ u1^2 IIx2II +...+ (-1)un^2/u1^2 IIxnII. ist, dann kann das ja nicht 0 sein, aber gleichzeitig muss es Null sein, da dies die Vorraussetzung sagt. Und das ist ein Widerspruch oder?
09.03.2010, 16:11	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum solltest du das mit dem Formeleditor nicht können?.... Ich sehe den Widerspruch bei dir nicht, warum sollte es 0 sein und warum kann es nicht 0 sein?
09.03.2010, 16:18	citti	Auf diesen Beitrag antworten »
es sollte 0 sein, weil das ja die Vor. sagt. Also die Vektoren sind orthogonal und dementsprechend ist das Skalarprodukt 0. Das habe ich ausgerechnet und nun habe ich gesagt, dass u1 ungleich 0 sein muss. Habe wieder alles umgeformt und dadurch kam der letzte Schritt zustande. Aber IIxII^2 muss wie gesagt immer größer 0 sein. Ich komme jetzt nicht weiter...sag mir doch einfach, was ich jetzt noch machen soll, bzw. sag mir doch den letzten Schritt
09.03.2010, 16:31	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie oft soll ich denn noch erwähnen dass du positiv einbringen musst. $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n \underbrace{u_i^2}_{\geq 0} \underbrace{\langle x_i,x_i\rangle}_{>0} = 0 \end{eqnarray}$ So mehr werde ich nicht mehr sagen, habe dir jetzt die ganze Aufgabe schon gelöst
09.03.2010, 16:53	citti	Auf diesen Beitrag antworten »
naja, aber ich habe doch auch einiges selbst dazu beitgetragen...;-) Aber danke!!

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