Markovkette mit endlichem Zustandsraum OHNE invariante Verteilung??

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markov Auf diesen Beitrag antworten »
Markovkette mit endlichem Zustandsraum OHNE invariante Verteilung??
Hallo Leute,

habe eine Frage, die wahrscheinlich ganz einfach zu beantworten ist, aber ich komme einfach nicht drauf unglücklich

Eine Markovkette mit endlichem Zustandsraum besitzt eine invariante Verteilung, falls sie irreduzibel ist.
Es möchte mir aber nicht gelingen, eine Markovkette mit endl. Zustandsraum zu konstruieren, die keine invariante Verteilung besitzt.
Klar ist, dass die Kette reduzibel sein muss und dass nur das Nullmaß die Gleichung
vP = v erfüllt.

Aber wegen des ganzen Rauchs in meinem Kopf sehe ich wohl die Lösung nicht :-)

Wäre super nett, wenn ihr helfen könntet!!
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Für einen endlichen Zustandsraum kann man die Stationäre Verteilung auch wie folgt characterisieren :

oder äquivalent

wobei ich Pi als Spaltenvektor interpretiere. Jede stochastische Matrix hat den Eigenwert 1, also ist die Gleichung



stets lösbar. Ist w ein Vektor dessen Komponenten stets größergleich Null sind, so ist eine stationäre Verteilung. Die Existenz einer stationären Verteilung ist also äquivalent zur Existenz eines Eigenvektors zum Eigenwert 1 , dessen Komponenten stets größergleich 0 sind. Der Satz von Perron liefert Dir die Existenz dieses Vektors da bei stochastischen Matrizen der Eigenwert 1 der betragsmäßig größte ist (es kann zwar Eigenwerte = -1 geben, aber für den Satz von Perron wird der Spektralradius betrachtet, und dieser ist dann gleich 1). Du wirst es daher nicht schaffen eine Markovkette mit endlichem Zustandsraum ohne stationäre Verteilung zu konstruieren.
markov Auf diesen Beitrag antworten »

Das beruhigt mich, dass ich daran gescheitert bin, eine Lösung zu finden, die es nicht gibt :-D

Bei uns wurde nur immer gesagt, dass eine irreduzible MK mit endlichem Zustandsraum immer eine Gleichgewichtsverteilung besitzt.
Ich war mir deshalb sicher, dass Irreduzibilität notwendig sein müsste.

Ich danke dir ganz herzlich für deine Erklärung!

Beste Grüße!!

PS: Hoffentlich kommt in der Prüfung eine Frage zu dieser Aussage, dann kann ich ein bisschen glänzen :-D
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Irreduzibilität + Aperiodizität sind Kriterien dafür, das die stationäre Verteilung eindeutig ist, ist eine der beiden Eigenschaften verletzt , wird es im Allgemeinen mehrere stationäre Verteilungen geben.
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