Geometrie - Translation, Streckung, Spiegelung

09.03.2010, 10:12

...:::Leo:::..

Geometrie - Translation, Streckung, Spiegelung

Hallo Zusammen,

ich sitze schon seit mehreren Tagen an folgender Aufgabe.

Geben Sie für folgende Affinitäten von $\begin{eqnarray*} AG(2\mathbb R) \end{eqnarray*}$ an, ob es sich um eine Translation, Streckung, Scherung oder Affinspiegelung handelt...

$\begin{eqnarray*} \alpha : {\mathbb R^{2} \to \mathbb R^{2}} : {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} -x + 3y \\ y \end{pmatrix}} \end{eqnarray*}$

Fixpunkte von $\begin{eqnarray*} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} -x + 3y \\ y \end{pmatrix}}\iff 2x=3y \end{eqnarray*}$

Daraus folgt für die Achse $\begin{eqnarray*} L=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\mathbb R \end{eqnarray*}$

Soweit noch keine Probleme und wegen $\begin{eqnarray*} \alpha^{2}=\begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -x+3y \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=id \end{eqnarray*}$
liegt eine Affinspiegelung vor.

Aber im in der mir vorliegenden Lösungsskizze wird noch folgendes erwähnt:

"Wegen $\begin{eqnarray*} \alpha\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,
also $\begin{eqnarray*} \alpha\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}\mathbb R\nparallel L \end{eqnarray*}$
ist Alpha keine Scherung."

Vielleicht ist es ja ganz einfach und ich seh's einfach nicht. Ich würd's halt einfach gern nachvollziehen können und es wär schön, wenn ihr mir da unter die Arme greifen könntet.

Grüße
Leo

09.03.2010, 14:58

Reksilat

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RE: Geometrie - Translation, Streckung, Spiegelung
Hi Leo,

Zitat:

"Wegen $\begin{eqnarray*} \alpha\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,
also $\begin{eqnarray*} \alpha\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}\mathbb R\nparallel L \end{eqnarray*}$
ist Alpha keine Scherung."

Sicher, dass Du da nicht noch ein Minus vergessen hast?

Wie ist denn ein Scherung bei Dir eigentlich definiert?
Ein Punkt der nicht auf der Fixgeraden liegt (z.B. hier der Punkt (0;1)), muss doch bei einer Scherung parallel zur Fixgeraden verschoben werden. - Und genau das wird hier untersucht.

Gruß,
Reksilat.

09.03.2010, 19:02

...:::Leo:::..

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Hallo,

ich glaub' ich hab mich etwas mißverständlich ausgedrückt...

Die Sache mit der Scherung hab' ich schon verstanden nur leider finde ich momentan keinen Zugang zu diesem

$\begin{eqnarray*} \alpha\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}\mathbb R\nparallel L \end{eqnarray*}$

Ausdruck.

Wie kommt denn nur die (0/2) zustande. verwirrt

ich bekomm's gerad echt nicht geblickt...

Grüße
Leo

P.S. (Achso, ein fehlendes "Minus" kann ich lt. der vorliegenden Lösungsskizze nicht erkennen.... - muss ja aber nix heißen...)

09.03.2010, 19:15

Reksilat

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$\begin{eqnarray*} \alpha\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}\mathbb R\nparallel L \end{eqnarray*}$
Das war so meine Interpretation. - Da stört die 2 dann auch. verwirrt

Ist ja auch nicht so wichtig. Wenn die Komplettlösung nicht passt, dann bastelt man sich eben selbst was. Augenzwinkern

09.03.2010, 19:51

...:::Leo:::..

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Naja, von Komplettlösung kann man nicht unbedingt reden, aber ich dachte eben, ich könnt' mich schon irgendwie auf die Angaben dort verlassen.

Nun denn, sei's drum...

Nach deiner Interpretation...
$\begin{eqnarray*} \alpha\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}\mathbb R\nparallel L \end{eqnarray*}$

wäre dann ja auch...
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}\mathbb R\nparallel L \end{eqnarray*}$

eine richtige Angabe, da lin. abh.

09.03.2010, 19:57

Reksilat

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Jep.

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