Eine Frage zur Holomorphie einer Funktion

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sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Frage zur Holomorphie einer Funktion
Hallo,

bin gerade beim Lesen einiger Sachen über eine Behauptung gestolpert, welche ich mir selbst iwie nicht erklären kann. Wäre nett, wenn jemand dazu kurz einen Kommentar geben könnte:

n(y,z) bezeichne die Umlaufzahl des Weges y um den Punkt z.


Da
holomorph in einer Spur y enthaltenden Halbebene ist gilt somit:


mfg.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Bin schon etwas länger aus Funktionentheorie raus, aber ist das nicht einfach der Cauchysche Integralsatz?
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Problem ist eher die Behauptung, dass dieses holomorph ist.
und insbesondere wieso spricht man dort von einer Halbebene und der Spur des Weges.

Edit:
Ich versuche mal das Problem so zusammenzufassen:
Bezeichne k(r,z) den Kreis mit Radius r um die komplexe Zahl z, so ist
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Weg gamma beschreibt einen Kreis mit Radius 1. Ist das so gewollt?
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm ok habe dabei ohne nachzudenken die Abkürzende Schreibweise meines Buches benutzt.
Also bei einem Kurvenintegral bei einem Kreis ist stehts der Rand gemeint mit dem Weg:

WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Also, welcher Weg stimmt denn nun? unglücklich
 
 
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, da wohl leider nicht klar wird was ich zu fragen versuche schreibe ich dieses nochmal hin, ich hoffe diesmal keine offenen Fragen zu lassen:

Es geht mir um folgende Integrale, insbesondere wann und warum der Integrad holomorph ist:


zum einen


und zum anderen


Hoffe jetzt ist alles klar,
danke und mfg.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Na, wenn das z außerhalb des Kreises liegt, dann ist de Integrand innerhalb doch offensichtlich holomorph.
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, aber kannst du mir sagen wieso dieses offensichtlich ist.
Ich komme da iwie auf keine gute Idee, vielleicht sehe ich auch das offensichtliche ja nicht.

Ich verstehe nicht, wieso das einen unterschied macht, wo nun mein z liegt.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ist f(z) = 1/z im Einheitskreis holomorph?
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich will ja nicht nerven, aber ich komme da nicht weiter.
Und zwar habe ich eben die Cauchy- Riemannschen DGLs überprüft und demnach soll die Funktion für alle z ungleich 0 holomorph sein.

Ich gehe mal von aus dem ist so. Dann sehe ich nicht wieso man bei den Integralen eine Fallunterscheidung braucht.


Habe ich einen Fehler oder was wo liegt das Problem?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Dann sag ich dir mal was, was dir weiterhelfen sollte: eine rationale Funktion (d.h. p(z)/q(z) mit teilerfremden Polynomen p und q ist auf ganz C - außer in den Nullstellen von q - holomorph. Die Nullstellen von q nennt man "Pole" der Funktion. Du musst bei einer gegebenen rationalen Funktion und einem Gebiet also nur schauen, ob Pole in dem Gebiet liegen. Wenn nicht, dann ist die Funktion in dem Gebiet holomorph.

Obiges folgt übrigens trivialerweise aus den elementaren Eigenschaften holomorpher Funktionen:

1.) Polynome sind auf ganz C holomorph.
2.) Sind f und g holomorph auf G und g auf G nullstellenfrei, dann ist f/g auf G holomorph.
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Bemühungen. Also hätte ich mir alle Arbeit sparen können, wenn ich soweit vorgedacht hätte.

Dennoch bleibt mir die frage:


wäre dann demnach doch für alle z ungleich a holomorph.
Damit wäre ich wieder bei der Frage wieso eine Fallunterscheidung nötig ist.

ICh fürchte ich werde lieber eine Nacht darüber schlagen müssen unglücklich

mfg
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sergej88
ICh fürchte ich werde lieber eine Nacht darüber schlagen müssen unglücklich


Ob das ein Freudscher Versprecher war...? Augenzwinkern
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

SO ich glaube ich habe es endliclh begriffen und dabei war es ja garnicht so schwer. Sollte ich was falsch verstanden haben bitte hier korrigieren smile


Dieses ist wohl der einfache Fall gewesen.

Hier ist h holomorph, damit hat bei der Ableitung der Integrand eine Stammfunktion und damit


Für


Der letzte Fall bleibt für

Da h konstant wie oben und für eine Folge die vom Betrag unbeschränkt ist folg damit, dass h(z) = 0 gelten muss.

Was ja klar sein sollte, da dieses gebraucht wird um zu sagen, dass auf der unbeschränkten Wegkomponente die Umlaufzahl eben 0 ist.

Diesmal hoffe ich, dass es richtig ist smile

Gute Nacht
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sergej88

Da h konstant wie oben und für eine Folge die vom Betrag unbeschränkt ist folg damit, dass h(z) = 0 gelten muss.


Hm? Was? Ich kann dir nicht folgen. Woher kommt diese komische Abschätzung (die btw Müll ist, da die komplexen Zahlen keiner totalen Ordnung unterliegen).

Die Aussage, dass das Integral verschwindet, folgt einfach aus dem Cauchyschen Integralsatz.
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja die Betragsstriche Fehlen

Ok Tippfehler von mir. sollte so gehen
|h(z)| <= 2pi r max|...|
also Integral ist kleiner oder gleich "Länge des Integrationsweges * max|Integrand| "
Da das Integral konstant ist auf dieser Komponente und das für alle z gelten soll, kann ich diese ja beliebig klein bekommen dadurch.


Aber danke, jetzt hab ich geblickt. Ich habe die falschen Vorraussetzungen für diesen Satz überprüft und kam jedesmal darauf, dass demnach auch die anderen beiden Integrale verschwinden müssten, was ja offensichtlich quatsch ist.

mfg.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sergej88
|h(z)| <= 2pi r max|...|


Immernoch Müll...


Zitat:
Original von sergej88
Da das Integral konstant ist auf dieser Komponente und das für alle z gelten soll


Nein. Das z ist fest.


Zitat:
Original von sergej88
Aber danke, jetzt hab ich geblickt.


Das glaube ich ehrlich gesagt nicht. Augenzwinkern
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok du hast Recht C - D(z_0) ist nicht konvex, damit meine Idee wieder im Eimer.

Zur Abschätzung sehe ich da aber iwie keinen Fehler.


Für jedes z ausserhalb ist ja mein Integral konstant und genügt dieser Abschätzung. Da dieses Für jedes gelten muss, kann ich damit doch meine Abschätzung beliebig klein machen.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sergej88
Zur Abschätzung sehe ich da aber iwie keinen Fehler.



So ist es richtig. Die Versionen oben waren alle falsch.


Zitat:
Original von sergej88
Für jedes z ausserhalb ist ja mein Integral konstant und genügt dieser Abschätzung. Da dieses Für jedes gelten muss, kann ich damit doch meine Abschätzung beliebig klein machen.


Ich wiederhole mich ungern: z ist fest. Du sollst folgendes machen: Ich gebe dir ein z außerhalb des Kreises um z_0 mit Radius r, und du zeigst mir dann, dass das Integral Null ist. Wie das geht, habe ich dir oben bereits geschrieben.
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

BEvor ich verzweifel an diesem harten Tag hier eine letzte Idee:

für z nicht im Abschluss unseres Kreises um z_0, gibt es einen weiteren KReis, welcher vollständig im Komplement von D(z_0) liegt.
Damit ist f auf diesem neuen KReis holomorph und, da konvexität offensichtlich ist folgt aus dem Satz die Behauptung.
Für z innerhalb von D(z_0) habe ich ja oben berreits gezeigt, dass dieses nicht stimmt, insbesondere sind auch die Vorraussetzungen nicht erfüllt.

mfg.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich gehe jetzt nicht auf deinen Beitrag ein, weil ich keine Lust habe zu raten. Anstattdessen gebe ich dir die Lösung. Sei C der Rand deiner Kreisscheibe D, in deren Abschluss z nicht liegt. Sei U eine Umgebung des Abschlusses von D, in der z auch nicht liegt. Die Funktion ist als rationale Funktion ohne Pole in U holomorph in U. Also gilt



Mit Standardabschätzungen ist da nichts zu machen.
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. ICh war wohl total blind, dabei musste man ja eigentlich nichts machen ...

ICh will für heute wohl lieber nicht weiter Wirr-Warr schreiben, ist ja schon peinlich genug...

Gute Nacht
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