Lagrange Polynom vs. baryzentrische Darstellung

09.03.2010, 16:25

Lilyon

Lagrange Polynom vs. baryzentrische Darstellung

Bei mir im Skript steht die Definition für Lagrange Polynom und zwar das Lagrange Polynom wird durch baryzentrische Darstellung representiert.
Ich verstehe nicht die Darstellung. Kann jemand einen Gefallen tun, ein konkretes Beispiel zeigen? Danke schön vorab!

Ich habe ein Beispiel für das Lagrange Polynom angehängt. Vielleicht könnte jemand dieses Beispiel durch baryzentrische Formel darstellen?

09.03.2010, 17:22

tigerbine

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RE: Lagrange Polynom vs. baryzentirsche Darstellung
Ich kenne die Formel leider nicht, vielleicht hilft aber dieses PDF. Es müssen wohl Gewichte berechnet werden.

10.03.2010, 13:14

Lilyon

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Hallo ,danke schön für den Antwort!!!

Ich habe wieder ein Beispiel gefunden. Sehen bitte im Anhäng.

Nach dem Formel im den PDF kann man das Ergebnis so wie folgendes formurieren Hammer

:

$\begin{eqnarray*} L_{3}(x)=(x-1)(x-2)(x-5)(x-6)\left(\frac{\frac{2}{(1-2)(1-5)(1-6)} }{x-1} + \frac{\frac{4}{(2-1)(2-5)(2-6)} }{x-2} + \frac{\frac{0}{(5-1)(5-2)(5-6)} }{x-5} + \frac{\frac{1}{(6-1)(6-2)(6-5)} }{x-6}\right) \end{eqnarray*}$

10.03.2010, 13:48

tigerbine

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RE: Lagrange Polynom vs. baryzentirsche Darstellung
Neue Beispiele bringen uns doch nicht weiter. Wir sollten mal bei dem ersten bleiben und klären, was wir überhaupt suchen. Dann können wir mit einer Qualitätsanalyse beginnen.

Man hat also zunächst mal die Darstellung des IP mittels der Lagrange-Basis.

Zitat:

aus [WS] Polynominterpolation - Theorie
$\begin{eqnarray*} p_n(x)=\sum_{j=0}^n~l_j(x)\cdot y_j \quad \text{ mit } l_j(x) := \prod_{ k=0 \atop k \neq j}^n \frac{(x-x_k)}{(x_j-x_k)} \end{eqnarray*}$

Im PDF nun eben mit großen L, i und j. Nun schreiben wir so ein Basispolynom mal ein wenig anders.

$\begin{eqnarray*} l_j(x) := \prod_{ k=0 \atop k \neq j}^n \frac{(x-x_k)}{(x_j-x_k)} = \prod_{ k=0 \atop k \neq j}^n(x-x_k) \cdot \prod_{ k=0 \atop k \neq j}^n \frac{1}{(x_j-x_k)} =\frac{1}{(x-x_j)}\prod_{k=0}^n(x-x_k) \cdot \prod_{ k=0 \atop k \neq j}^n \frac{1}{(x_j-x_k)} \end{eqnarray*}$

Und nun geben wir der neuen Gestalt neue Namen.

$\begin{eqnarray*} l_j(x) =\frac{1}{(x-x_j)}\prod_{k=0}^n(x-x_k) \cdot \prod_{ k=0 \atop k \neq j}^n \frac{1}{(x_j-x_k)} := \frac{1}{(x-x_j)} \cdot w_{n+1}(x) \cdot w_j \end{eqnarray*}$

Und damit erhalten wir dann (6.9) im PDF, da $\begin{eqnarray*} w_{n+1}(x) \end{eqnarray*}$ nicht mehr von j abhängt:

$\begin{eqnarray*} p_n(x)=w_{n+1}(x) \sum_{j=0}^n~ \frac{w_j}{(x-x_j)} \cdot y_j \end{eqnarray*}$

Soweit die Idee verstanden?

10.03.2010, 14:13

tigerbine

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... Fortsetzung der Idee des PDFs

Das formt man nun noch weiter um. Über die Interpolation der Funktion $\begin{eqnarray*} f \equiv 1 \end{eqnarray*}$ - wobei dann das IP gerade diese Funktion entspricht - erhält man den Zusammenhang

$\begin{eqnarray*} 1 = w_{n+1}(x) \sum_{j=0}^n~ \frac{w_j}{(x-x_j)} \end{eqnarray*}$

Damit folgt

$\begin{eqnarray*} w_{n+1}(x) = \frac{1}{\sum_{j=0}^n~ \frac{w_j}{(x-x_j)}} \end{eqnarray*}$

Und das ersetzen wir nun in der Formel (6.9) und erhalten die Formel (6.10)

$\begin{eqnarray*} p_n(x)= \frac{1}{\sum_{j=0}^n~ \frac{w_j}{(x-x_j)}} \cdot \sum_{j=0}^n~ \frac{w_j}{(x-x_j)} \cdot y_j = \frac{\sum_{j=0}^n~ \frac{w_j}{(x-x_j)}y_j}{\sum_{j=0}^n~ \frac{w_j}{(x-x_j)}} \end{eqnarray*}$

Was stellt man nun fest? Bis auf $\begin{eqnarray*} y_j \end{eqnarray*}$ sehen Zähler und Nenner gleich aus. Was haben wir dadurch gewonnen, ist nun die entscheidende Frage. Was fällt dir dazu ein?

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