Kurvendiskussionsartig

09.03.2010, 18:41

GenervtVonMathe

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Kurvendiskussionsartig

Habe hier folgende Aufgabe:

Gegeben ist der Grahp K mit der Gleichung f(x)=ln(2+x^2)+a ; a€R

a) Geben sie maximalen Definitionbereich an.
Wäre dann ja D=R odeR?

b)Bestimmen sie die Nullstellen von f(X) in Abhängigkeit von a.
Wie mache ich das?

09.03.2010, 18:51

Mulder

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RE: Kurvendiskussionsartig
Es geht um

$\begin{eqnarray*} f_a(x) = \ln(x^2+2) +a \quad , \quad a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von GenervtVonMathe

a) Geben sie maximalen Definitionbereich an.
Wäre dann ja D=R odeR?

Ja. Eventuell noch mit einer kleinen Begründung versehen.

Zitat:

Original von GenervtVonMathe

b)Bestimmen sie die Nullstellen von f(X) in Abhängigkeit von a.
Wie mache ich das?

Gleich null setzen.

$\begin{eqnarray*} \ln(x^2+2)+a = 0 \end{eqnarray*}$

Wie könnte man das nach x auflösen?

09.03.2010, 18:58

GenervtVonMathe

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Das weiß ich gerade leider nicht mehr unglücklich

unglücklich

Ich weiß leider nicht mehr wie ich das ln weg bekomme oder Zahlen bzw variablen aus den Klammern von ln. eine kleine Hilfe wäre nett smile

smile

war das mit
|*e^{x}

??

09.03.2010, 18:59

Elvis

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Kleine Hilfe: a subtrahieren

09.03.2010, 19:01

Mulder

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Also zunächst mal das a auf die andere Seite bringen.

$\begin{eqnarray*} \ln(x^2+2) = -a \end{eqnarray*}$

Da ist ja noch nicht viel passiert. Das ln kriegst du über die Umkehrfunktion weg. Das ist im Falle des natürlichen Logarithmus' die e-Funktion.

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(x)) = f(f^{-1}(x)) = x \end{eqnarray*}$

Und damit in diesem Fall:

$\begin{eqnarray*} e^{\ln(x)} = \ln(e^x) = x \end{eqnarray*}$

Damit wird die Nullstellenbestimmung sehr einfach.

09.03.2010, 19:01

GenervtVonMathe

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Das mit dem "a" substrahieren ist ja nicht schwer da wäre ich vsogar noch allein drauf gekommen ^^. Meinte eher das ln, aber trotzdem danke Augenzwinkern

Augenzwinkern

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09.03.2010, 19:03

Elvis

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Das mit dem ln und exp ist große Hilfe , das macht Mulder. Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.03.2010, 19:05

GenervtVonMathe

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Wenn ich das wie Mulder machen möchte lieg ich dann hiermit richtig?

$\begin{eqnarray*} ln(x^2+2)+a=0 |-a<br /> <br /> ln(x^2+2)=-a |*e^x<br /> <br /> x^2+2=e^{-a} \end{eqnarray*}$

??

09.03.2010, 19:08

Mulder

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Ja. Nur weiter. Du bist ja noch nicht fertig.

09.03.2010, 19:16

GenervtVonMathe

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$\begin{eqnarray*} x^2+2=e^{-a} | -2<br /> <br /> x^2=e^{-a}-2 |\sqrt()<br /> <br /> x=\sqrt(e^{-a}-2) \end{eqnarray*}$

Und wie gehts weiter? (Ich dachte unter der Wurzel können keine negativen Zahlen stehen ? )

09.03.2010, 19:24

Elvis

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1. Quadratwurzelziehen liefert immer zwei Werte +/- ...
2. Für a=-12 ist das unter der Wurzel ganz bestimmt positiv Augenzwinkern

Augenzwinkern

3. Wenn das unter der Wurzel negativ ist, ist die Wurzel nicht reell, sondern komplex.

09.03.2010, 19:28

GenervtVonMathe

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Danke schonmal, aber wie komme ich jetzt voran ?

Wie kommst du auf a=-12?

Und was stelle ich jetzt mit $\begin{eqnarray*} x=\sqrt(e^{-a}-2) \end{eqnarray*}$ an ?

09.03.2010, 19:30

Elvis

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a=-12 ist ein BEISPIEL. Du musst rausfinden, für welche a das Ergebnis reell ist, und für welche nicht.

Das hier sollte dir dabei helfen:

09.03.2010, 19:44

GenervtVonMathe

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Ok, ich verstehe aber leider immernoch nicht ganz wie es weitergeht.

Eine kleine Erklärung würde vllt. Licht ins dunkle bringen.

Ich bräuchte eine Erklärung wie es jetzt mit

$\begin{eqnarray*} x=\sqrt(e^{-a}-2) \end{eqnarray*}$

weitergeht. Was muss ich machen ?

09.03.2010, 19:48

Elvis

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Für $\begin{eqnarray*} e^{-a}-2\ge 0 \end{eqnarray*}$ ist die Wurzel reell, für $\begin{eqnarray*} e^{-a}-2<0 \end{eqnarray*}$ ist die Wurzel komplex. Die Nullstelle dieser Funktion liegt findest du bei $\begin{eqnarray*} e^{-a}=2 \end{eqnarray*}$ , den Wert für dieses a kannst du berechnen.

09.03.2010, 19:50

diemensch

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anders gefragt:wann ist der ausdruck unter der wurzel größer als null?
also löse
$\begin{eqnarray*} e^{-a}-2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

09.03.2010, 20:48

GenervtVonMathe

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wenn $\begin{eqnarray*} e^{-a} \end{eqnarray*}$ eine Zahl ergibt die größer als 2 ist, ergibt der Ausdruck mehr als 0

09.03.2010, 22:01

GenervtVonMathe

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Für a habe ich berechnet a=-0,69. Ist das richtig ?

10.03.2010, 15:54

GenervtVonMathe

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/Push

10.03.2010, 19:10

GenervtVonMathe

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Zitat:

Original von Elvis
Für $\begin{eqnarray*} e^{-a}-2\ge 0 \end{eqnarray*}$ ist die Wurzel reell, für $\begin{eqnarray*} e^{-a}-2<0 \end{eqnarray*}$ ist die Wurzel komplex. Die Nullstelle dieser Funktion liegt findest du bei $\begin{eqnarray*} e^{-a}=2 \end{eqnarray*}$ , den Wert für dieses a kannst du berechnen.

Wie kommst du darauf das das a=2 ist? Wie hast du das aus meiner Rechnung erschlossen?

Und wie soll ich das weithin berechnen ?
Wenn ich die 2 fpr das a einsetze komme ich auf den Wert:
$\begin{eqnarray*} x=\sqrt{e^{-2}-2} \end{eqnarray*}$

11.03.2010, 18:22

Elvis

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a=2 habe ich nie behauptet. Du hast völlig recht mit a=-0.69 Freude

Freude

Das sieht man so: $\begin{eqnarray*} e^{-a}=2\Rightarrow ln(e^{-a})=ln(2)\Rightarrow -a=ln(2)\Rightarrow a=-ln(2)=-0.6931471805599453094172321214581765680755001343602552541206... \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} a\le -0.69... \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{e^{-a}-2} \end{eqnarray*}$ reell, für $\begin{eqnarray*} a > -0.69... \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{e^{-a}-2} \end{eqnarray*}$ komplex .

13.03.2010, 12:34

GenervtVonMathe

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Das mit dem a=2 war mein Fehler, hast du wirklich nie behauptet Big Laugh

Big Laugh

Dankeschön jetzt bin ich einen kleinen Schritt weiter.

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