Vielfachheit

10.03.2010, 00:01

Manuel20

Vielfachheit

Kurze Frage:

Wenn man die Eigenwerte:
Lambda_1 = 2
Lambda_2 = 2
Lambda_3 = 3
hat, wie gross ist dann die geometrische Vielfachheit?

Ich weiss, dass die Dimension des Eigenraums als geometrische Vielfachheit bezeichnet wird - das heisst, die geometr. Vielfachheit hier wäre 2, oder?

10.03.2010, 00:59

WebFritzi

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Erstmal gibt es nur die AVF und GVF eines bestimmten Eigenwertes. Welchen du bei deinem Beispiel meinst, schreibst du nicht.

Zweitens suggeriert deine Auflistung der Eigenwerte, dass AVF(2) = 2 und AVF(3) = 1. Die GVF eines Eigenwertes kann man nicht immer am charakt. Polynom ablesen. Im allgemeinen muss man dafür schon den jeweiligen Eigenraum bestimmen.

10.03.2010, 09:47

pablosen

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Zitat:

die geometr. Vielfachheit hier wäre 2

Rein aus deinen Angaben hier kann man nur sagen, dass geometrische Multiplizität $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ algebr. Multiplizität $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ geom. Mult.(2) $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 2 .

Berechne die Basis des Eigenraumes zum Eigenwert 2. Dim(Eigenraum(2)) = .... wie das Webfritzi schon erwähnte.

10.03.2010, 11:42

Manuel20

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Sei die Matrix $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 6 & 9 & -3 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 5 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gegeben.
2 ist dann doppelter Eigenwert, und 3 ein einfacher.
Das heisst, Lambda = 2 hat doppelte algebr. Vielfachheit, Lambda = 3 einfache.
Nun zur geometrischen Vielfachheit: Sie wird ja definiert durch dim(Eig, Lambda).
Fuer den Eigenwert = 2 wuerde ich aber geometrische Vielfachheit 3 erhalten, was gar nicht sein kann, da die geometrische Vielfachheit immer kleiner gleich der algeraischen ist.
Das habe ich fuer Lambda = 2 gemacht:
Die Dimension aus
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6-2 & 9 & -3 \\ -1 & 0-2 & 1 \\ 2 & 5 & 1-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
genommen --> dim = 3.
Wo liegt der Fehler, den ich mache?

10.03.2010, 11:45

jester.

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Zitat:

Original von Manuel20
Das habe ich fuer Lambda = 2 gemacht:
Die Dimension aus
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6-2 & 9 & -3 \\ -1 & 0-2 & 1 \\ 2 & 5 & 1-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
genommen --> dim = 3.
Wo liegt der Fehler, den ich mache?

Was soll denn die Dimension einer Matrix sein? Frage dich: Was ist der Eigenraum zum Eigenwert Lambda und wie kann man seine Dimension bestimmen? Wie hängt der Eigenraum mit der Matrix im Zitat zusammen?

10.03.2010, 11:56

pablosen

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Löse das Gleichungssystem: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6-2 & 9 & -3 \\ -1 & 0-2 & 1 \\ 2 & 5 & 1-2 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wieviele Lösungen kommen raus? Sind die Lösungen, die du bekommst (=Vektoren) voneinander allesamt linear unabhängig?

10.03.2010, 21:05

Manuel20

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Alles klar.
Das heisst zu:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 & 9 & -3 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 5 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und dem Eigenwert 2 ist die geometr. Vielfachheit 2,
zum Eigenwert 3 ist sie 1.

Zu
[latex] \begin{pmatrix} 1 & 7 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & -9 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} {pmatrix}

und dem Eigenwert 1 ist die geometrische Vielfachheit 1.

Könnte evtl jemand diese Vielfachheiten auf Ihre Richtigkeit prüfen?
Herzlichen Dank!

10.03.2010, 21:06

Manuel20

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Die zweite Matrix sollte so aussehen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 7 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & -9 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} {pmatrix} \end{eqnarray*}$

10.03.2010, 21:55

pablosen

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$\begin{eqnarray*} A:= \begin{pmatrix} 1 & 7 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & -9 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Erstmal schreibst du dir die Matrix $\begin{eqnarray*} (A-\lambda*E) \end{eqnarray*}$ hin, wobei $\begin{eqnarray*} E = \end{eqnarray*}$ Einheitsmatrix. Dann mit dem LaPlace-Entwicklungssatz die Determinante berechnen:

http://de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Ent...ntwicklungssatz

Ich hoffe, dass das diese Anwort ok ist als Tipp.

Zitat:

und dem Eigenwert 2 ist die geometr. Vielfachheit 2, zum Eigenwert 3 ist sie 1.

Hab ich auch bekommen.

10.03.2010, 22:06

Manuel20

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Das habe ich ja bereits gemacht - ich wollte nur noch wissen, ob die geometrische Vielfachheit zum Eigenwert auch wirklich 1 ist.

10.03.2010, 22:32

pablosen

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Zitat:

Original von Manuel20
Das habe ich ja bereits gemacht - ich wollte nur noch wissen, ob die geometrische Vielfachheit zum Eigenwert auch wirklich 1 ist.

Ich bekomme 2, also 2 Eigenvektoren zum Eigenwert 1.

10.03.2010, 23:04

Manuel20

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Dumm - ja, ich natürlich auch.
Macht man einmal etwas "von Hand", passieren die dümmsten Flüchtigkeitsfehler :P
Danke für den Hinweis und schönen Abend!

11.03.2010, 01:23

WebFritzi

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Zitat:

Original von Manuel20
Das heisst zu:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 & 9 & -3 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 5 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und dem Eigenwert 2 ist die geometr. Vielfachheit 2,

Das ist Unsinn. Eigenwerte von Gleichungssystemen gibt es nicht. Richtig wäre:

Die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes 2 der Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 & 9 & -3 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 5 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist 2.

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