Wachstumsfunktionen ermitteln

10.03.2010, 00:31

slocker

Wachstumsfunktionen ermitteln

Meine Frage:
Hallo Leute!
Ich habe zwei schwierige, zumindest für mich, Aufgaben von meinem mathe Prof. bekommen und irgendwie kennt sich so keiner aus in meiner Klasse. Vielleicht kann mir hier einer helfen.
Beim ersten Bsp. habe ich keine Idee.

Beispiel 1: Jemand möchte 1.000,00 ? in seinem Sparschwein (also keine Zinsen) ansparen. Dazu spart er anfangs 250,00 ?. Weil seine Spargesinnung nachlässt, will er künftig jährlich nur mehr ein Fünftel der auf 1.000,00 ? ausstehenden Differenz sparen. Wann hat er mindestens 800,00 ? angespart?

Beispiel 2: Eine Nachricht breitet sich in einer Schule mit 1000 Schülern, ausgehend von einem Schüler, aus. Als Verbreitungsannahme gelte: Die Anzahl der Schüler, die täglich das Gerücht erfahren, beträgt 50% der Anzahl der noch nicht informierten Schüler. Wann sind 99% der Schüler informiert?

Meine Ideen:
Beim ersten Bsp. habe ich keine Idee.
Aber beim zweiten habe ich schon herum probiert, hier meine Ideen:
Also wenn ich das richtig sehe dann ist am Tag 0 ein Schüler informiert. Am Tag 1 dann 2 und es folgt eine Tabelle:
Tage Informierte Schüler

Tag0 1
Tag1 2
Tag2 4
Tag3 8
Tag4 16
Tag5 32
Tag6 64
Tag7 128
Tag8 256
Tag9 512
Tag10 1024

Ich weiß das ich das nicht so lösen darf aber wenn das mal stimmt kann ich die Lösung eingrenzen bei 99% von 1000 Schülern sind dann 990 zwischen 9 und 10 Tag informiert.

Dann habe ich eine Parabel durch die ersten 3 Punkte gelegt mit der Gl y=ax²+bx+c und dachte mir mmhh jetzt einfach 990 für y setzten und x ausrechnen, da komm ich auf 43,9775 Tage was ich nicht glauben kann.

Dann habe ich mich schlau gemacht wie Gerüchte wachsen bzw. auch Krankheiten (wie zb die Grippe) nämlich nach einer e-Funktion, habt ihr das gewusst? Naja dann habe ich herum probiert und bin auf ln(990) gekommen was mir 6,8977 Tage beschert, also auch nicht berauschend.

Dann hab ich gemeint es könnte ein ganz gewöhnliche Differentialgleichung sein mit y`=2x was zu x²+1 als funktion führt also wurzel aus 990 er gibt mir 31.4484 Tage ist mir auch zuviel.

Und dann habe ich mir gedacht ich gebe das in ein mathe Forum und lass mir von jemanden helfen der das kann, was mich hier her geführt hat.
Entweder ich bin total am Holzweg oder die Lösung ist schon irgendwo da drin, was ich aufgeführt habe.
ich bitte um eure hilfe.
Danke im vorhinein.

10.03.2010, 01:41

mYthos

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Die beiden Aufgaben sind einander sehr ähnlich.
Betrachten wir mal die zweite, dann ist ersichtlich, dass deine Tabelle unzutreffend ist, weil du den Text offenbar falsch interpretiert hast.
Denn nach einem Tag haben bereits 500 Schüler die Nachricht erfahren, am zweiten Tag weitere 250, usw.

Die Anzahl der Schüler, die bereits von der Nachricht wissen, verläuft also so:

Tag1: 500 (1000 - 500)
Tag2: 750 (1000 - 250)
Tag3: 875 (1000 - 125)
...
Tag x: f(x)

Daraus hast du nun das entsprechende Bildungsgesetz zu erstellen. Analog musst du bei der ersten Aufgabe verfahren.

Hinweis:
Die Funktionsgleichung entspricht jener des beschränkten Wachstums. Sie kann daher ebenso aus den Wertepaaren (1; 500), (2; 750) und der Grenzpopulation 1000 erstellt werden.

mY+

10.03.2010, 12:17

slocker

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Differentialgleichungen als Textaufgabe
Danke einmal für den Hinweis jetzt weiß ich zumindest das der Graph streng monoton wachsend dann beschränkt ist und sich degressiv verhält.

Was ich jetzt mal zusammen gebracht habe ist eine Folge, nämlich sinkt der Betrag den man von 1000 Schüler abzieht folglich mit der Hälfte beim nächsten mal mit einem viertel dann ein achtel.

Die Folge im Nenner ist also 2,4,8,16,32,64,128.
Was ich mal als rekursive Folge anschreiben kann $\begin{eqnarray*} a_{1} = 2, a_{n+ 1} = a_{n}\cdot 2 \end{eqnarray*}$ .

Aber wie ich das jetzt in eine Funktion bringe nach f(x) $\begin{eqnarray*} = 1000- \frac{1000}{a_{n+ 1} } \end{eqnarray*}$ da müsste ich x bei null starten lassen.

mhm ist das der richtig Weg? Was anderes fällt mir nicht mehr ein.

10.03.2010, 22:51

mYthos

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Ja, das hast du ganz gut gemacht. Setze nun noch $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = 2^x \end{eqnarray*}$ , dann liegt bereits die gesuchte Funktion (in x) vor:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 1000 - \frac{1000}{2^x} \end{eqnarray*}$

Und fange bei x mit (0), 1, 2, ... zu zählen an (am Tag 0 weiss noch niemand von der Nachricht, am Tag 1 bereits 500, ...). Sinnvoll ist es wahrscheinlich, die Funktion erst ab x = 1 zu betrachten.

Kannst du dies nun noch ähnlich auf die Aufgabe 1 anwenden?

mY+

10.03.2010, 23:00

slocker

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RE: Differentialgleichungen als Textaufgabe
So ich glaub jetzt hab ichs.

Die rekursive Folge kann ich ganz einfach mit $\begin{eqnarray*} 2^{x} \end{eqnarray*}$ ersetzen

Die Funktion ist dann $\begin{eqnarray*} f(x)=1000- \frac{1000}{2^{x} } \end{eqnarray*}$

kann man das so lassen?

ich hab noch nie eine Graphen hier geplottet mal probiern:

Edit (mY+): Plot-Definition berichtigt. Dort sind keine Klammern {} zu setzen.

warum geht das nicht, gut ich habs probiert

Danke nochmal!

10.03.2010, 23:12

mYthos

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So, jetzt stimmt es. Wann wissen nun 99% der Personen von der Nachricht? Welche Gleichung ist dabei zu lösen?

mY+

10.03.2010, 23:51

slocker

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RE: Differentialgleichungen als Textaufgabe
DAnke Danke.

Zum ersten Beispiel die rekursive Folge habe ich ja glaub ich wieder mit

$\begin{eqnarray*} a_{0}= 250, a_{n+ 1}= a_{n} + \frac{1000- a_{n} }{5} \end{eqnarray*}$

aber mein Problem wieder, wie mach ich da eine Funktion draus?

11.03.2010, 12:31

mYthos

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Rechne weiter und erstelle nur die Funktionswerte der Reste. Diese hängen dann von den Potenzen von 4/5 (=0,8) ab.

1.: 750
2.: 600
3.: 480
...

$\begin{eqnarray*} x: \ 750 \cdot 0.8^{x-1} \end{eqnarray*}$

oder?

Zu suchen ist jenes x, bei dem der Rest 200 wird.

mY+

17.03.2010, 21:10

slocker

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So, jetzt meld ich mich wieder einmal nach längerer Zeit.
Die Aufgaben sind jetzt soweit gelöst, ich möchte sie aber noch einmal zusammenfassen und besprechen.

Die zweite Aufgabe zu erst:

Angabe war so:
Eine Nachricht breitet sich in einer Schule mit 1000 Schülern, ausgehend von einem Schüler, aus. Als Verbreitungsannahme gelte: Die Anzahl der Schüler, die täglich das Gerücht erfahren, beträgt 50% der Anzahl der noch nicht informierten Schüler. Wann sind 99% der Schüler informiert?

Um was es mir hier geht ist wie man auf die Funktion kommt. Wenn man die Verbreitungsannahme richtig interpretiert hat.
Als Folge erkennt man das Ganze ja schnell und man kann auch schnell die einzelnen Tage dem bereits verbreiteten Betrag zu ordnen, das sieht dann so aus:

Tage Informierte meine Erklärung

500 $\begin{eqnarray*} \frac{1000}{2} \end{eqnarray*}$
750 $\begin{eqnarray*} \frac{500}{2} + 500 = \frac{1000}{4}+ 500 \end{eqnarray*}$
875 $\begin{eqnarray*} \frac{250}{2} + 750 = \frac{1000}{8}+ 750 \end{eqnarray*}$
937,5 $\begin{eqnarray*} \frac{125}{2} + 875 = \frac{1000}{16}+ 875 \end{eqnarray*}$
968,75 $\begin{eqnarray*} \frac{62,5}{2} + 937,5 = \frac{1000}{32}+ 937,5 \end{eqnarray*}$

man sieht das der Nenner sich mit $\begin{eqnarray*} 2^{x} \end{eqnarray*}$ vergrößert.
So kommt man schonmal zur Funktion der Informierten, wenn man jetzt aber wissen will wieviel zu jedem Zeitpunkt uninformiert sind muss man 1000 von den Informierten abzählen und man erhält diese Funktion.

$\begin{eqnarray*} f(x)= 1000-\frac{1000}{2^{x} } \end{eqnarray*}$

Der Vollständigkeithalber setzen wir

$\begin{eqnarray*} 990= 1000-\frac{1000}{2^{x} } \end{eqnarray*}$

und lösen nach x auf (und weil ich heute gut drauf bin und Zeit hab mach ich das schrittweise und freu mich das die Nachwelt auchmal was davon hat)

$\begin{eqnarray*} 10= \frac{1000}{2^{x} }[*2^{x}[/10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2^{x}= 100[ln() \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(2^{x})= ln(100)[/ln(2) \end{eqnarray*}$ hier ein wichtiger Schme bei

$\begin{eqnarray*} ln(2^{x}) \end{eqnarray*}$ kann man die Potenz x nachvorne ziehen des geht immer bei Logarithmus

$\begin{eqnarray*} x= \frac{ln(100)}{ln(2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x= 6,64386 \end{eqnarray*}$

Also nach 6 Tagen 15 Stunden 27 Minuten und 9,5 Sekunden sind 99% von 1000 Schülern informiert.

Die erste Aufgabe.
Jemand möchte 1.000,00 ? in seinem Sparschwein (also keine Zinsen) ansparen. Dazu spart er anfangs 250,00 ?. Weil seine Spargesinnung nachlässt, will er künftig jährlich nur mehr ein Fünftel der auf 1.000,00 ? ausstehenden Differenz sparen. Wann hat er mindestens 800,00 ? angespart?

Da bin ich auch wieder schnell zu einer Liste gekommen.

Jahre Guthaben
0 250

$\begin{eqnarray*} \frac{750}{5}+ 250= 400 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{600}{5}+ 400= 520 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{480}{5}+ 520= 616 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{384}{5}+ 616= 692,8 \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt die Differenzen von den jeweiligen Guthaben bilde d.h. 250-400=150
von 400-520=120 von 520-616=96 und von 616-692,8=76,8 und dann von diesen Differenzen mir dann die Verhältnisse ansehe d.h. 150/120=1,25 und 120/96=1,25 und 96/76,8=1,25 erkenne ich (dieser ganze Vorgang hat aber eh Stunden gedauert) eine Stetigkeit von 1,25.

So aber wieder meine Hauptfrage wie verpack ich das Ganze in eine Funktion. Wenn ich so weiter denke komme ich immer nur auf eine Funktion die so beginnen muss:

$\begin{eqnarray*} f(x)= 250 + ? \end{eqnarray*}$ 250 weil sie ja eine Offset von 250 bei null aufweisen muss. Und dann muss irgendwie dieses Verhältniss 1,25 eingebaut werden, weiter komm ich leider nicht außer mit einer Folge aber das ist mir nicht dienlich.

Kannst du mir erklären wie man an die Sache rangeht dass man dann auf so eine Funktion bekommt wie du geschrieben hast.

Was ich erkannt habe bei deiner Vorgehensweise, du bildest immer eine Funktion aus den Resten nicht aus den eigentlichen Werten. Die 0,8 bei dir sind die 1,25 reziprok bei mir.

Gibt es für diese Art von Beispielen einen bestimmten Lösungsweg der immer von den Resten abhängt?

19.03.2010, 11:16

mYthos

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Dein Weg zur Ermittlung der Funktion ist durchaus in Ordnung. Wenn es dir schwerfällt, daraus die Funktionsvorschrift zu erstellen, kannst du alternativ nur die Reste untersuchen.

Wie ich das gemacht habe?

Zitat:

Original von mYthos
Rechne weiter und erstelle nur die Funktionswerte der Reste. Diese hängen dann von den Potenzen von 4/5 (=0,8) ab.

1.: 750
2.: 600
3.: 480
...

$\begin{eqnarray*} x: \ 750 \cdot 0.8^{x-1} \end{eqnarray*}$
...

Die Folge der Reste ist eine geometrische Folge mit dem Anfangsglied a1 = 1000 und dem Quotienten q = 4/5 (0,8). Das allgemeine Glied für eine geometrische Folge lautet

$\begin{eqnarray*} a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \end{eqnarray*}$

Das Ganze wird dann von 1000 subtrahiert und fertig.

mY+

19.03.2010, 19:07

slocker

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mhm ich hätte zwar gehoft, dass du mir eine für mich verständlicheren Lösungsweg offenbarst. So wie du das jetzt erklärst hat das ehr mit mathematischem Wissen zu tun welches man sich einfach dadurch angeeignet hat, da man sich mit der Thematik beschäftigt hat und das über längere Zeit.
Ich dachte da ehr an eine Hausverstandslösung. Aber gut ich akzeptier das mal.

Das muss man halt wissen, dass das ein geometrische Folge ist und man nach einem Wert wie q=0,8 suchen muss.

Dann hätten wir das eigentlich abgeschlossen.

Was mir noch einfällt, das ist ja jetzt eigentlich eine super Beschreibung geworden zum größten Teil dank deiner Hilfe. Findest du die Überschrift Differentialgleichung als Textaufgabe für dieses Thema treffend. Ich nämlich nicht so, Textaufgaben mit Verbreitungsfunktionen oder Ausbreitungsschema oder Wachstumsfunktion würde die Sache ehr treffen mein ich. Hast du da auch eine Idee und könntest du das eventuell dann so verlinken damit man das dann schnell findet. Sodass es jeden dienlich sein kann.

DAnke!

19.03.2010, 19:37

mYthos

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Ich gebe dir Recht, die Überschrift ist/war - für die verlangte Behandlung der Aufgabe eher unzutreffend. Es könnte vielleicht noch unter Differenzengleichung hingehen. Interessant ist jedoch, dass die weitere Auseinandersetzung mit diesen Wachstumsfunktionen sehr wohl auf Differentialgleichungen führt, nämlich dann, wenn das Wachstum kontinuierlich erfolgt, also Änderungen des Bestandes in sehr kleinen Zeiträumen (differentiell) betrachtet werden.

Ich habe den Titel jetzt auf "Wachstumsfunktionen ermitteln" geändert.

mY+

19.03.2010, 21:11

slocker

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Ausgezeichnet!

Vielen Dank nochmal.

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