für welche x konvergiert die Reihe

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Hanzzz Auf diesen Beitrag antworten »
für welche x konvergiert die Reihe
folgende Aufgabe



Mein Lösungsansatz ist das Quotientenkriterium, da kommt man nach einsetzen und ein wenig umformen auf folgenden Term:



=

nach Grenzwertübergang ergibt das:


dies ergibt die zwei Lösungen:



Jetzt versteh ich nicht ganz, wie ich mit den beiden Lösungen (falls diese stimmen) umgehen soll, ist jetzt nur die zweite die einzig richtige Lösung, da sie den Wert von x weiter eingrenzt?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wie formst du das bitte im letzen Schritt um? , wie kommst du von hier auf ?
Hanzzz Auf diesen Beitrag antworten »

Versteh jetzt nicht ganz, was du meinst.
damit die Ungleichung gilt, muss x<1/2 sein
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Hatte mich vertippt, Frage bleibt die gleiche, wie kommst du auf (jetzt richtig): ?
Hanzzz Auf diesen Beitrag antworten »

oh man, da hab ich ja einen kompletten denkfehler.
die zweite Lösung würde stimmen, wenn nur die 2x in den Betragsstrichen stehen...
oder?
Hanzzz Auf diesen Beitrag antworten »

so nochmal langsam, nach dem Quotientenkriterium muss es doch heißen:

, damit die Reihe konvergiert.

Ich durchschau das mit dem Vorzeichen jetzt gerade gar nicht Hammer
 
 
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt teil das ganze durch 2, was bekommst du dann?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ding ist übrigens eine Potenzreihe, und man kann die Hadamard'sche Formel für den Konvergenzradius anwenden. So wird das ganze ein Einzeiler.
Hanzzz Auf diesen Beitrag antworten »

ergibt
und der Betrag schluckt das Vorzeichen, und jetzt bin ich wieder nicht schlauer...
Hanzzz Auf diesen Beitrag antworten »

Die Hadamard'sche Formel haben wir noch nicht kennengelernt, aber mit dem Einzeiler kommt man auch auf oben genanntes Ergebnis?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, du bist schlauer. Denn das sind genau die x, für die die Reihe konvergiert.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

@WebFritzi, kann man, aber wenn es an |x|<1/2 hapert... Augenzwinkern

@Hannz, für welche x ist denn jetzt |x|<1/2 erfüllt?

Edit: wobei ich mich frage, wieso du das noch weiter umformen willst, ist doch ein schönes Ergebnis verwirrt
Hanzzz Auf diesen Beitrag antworten »

tut mir leid, da stand ich ganz schön auf dem schlauch..

also im ergebnis |x|<1/2 ist natürlich auch das -1/2 enthalten..
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

So wie du es schreibst ist das falsch, -1/2 ist natürlich nicht mit drin, es ist schließlich echt kleiner gefordert.
Hanzzz Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaub die Betragsstriche lösen eine Blockade in meinem Hirn aus..
Die Lösung ohne Betrag:

-0,5<x<0,5
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

So ist besser.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Konvergenz für , Divergenz für , das wäre geklärt.

Damit ist die Aufgabe aber noch nicht komplett gelöst: Das Konvergenzverhalten an den Nahtstellen muss ebenfalls noch untersucht werden.
Hanzzz Auf diesen Beitrag antworten »

eingesetzt für x=1/2:



bildet keine Nullfolge, also divergiert.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hanzzz
bildet keine Nullfolge

So ist es. Freude

Ob der Aufgabensteller noch eine genauere Begründung für diese Eigenschaft "keine Nullfolge" haben will, kann ich natürlich nicht einschätzen - ich an seiner Stelle würde schon noch eine hören wollen. Augenzwinkern


P.S.: Allerdings solltest du schreiben, dass die Reihenglieder keine Nullfolge bilden, nicht wie oben die Reihe selbst - das macht wenig Sinn.
Hanzzz Auf diesen Beitrag antworten »

dann bin ich mal froh, das du nicht mein Aufgabensteller bist Augenzwinkern

ja, stimmt, habs zwar so gemeint, sollte aber besser formuliert werden.

jetzt fehlt nur noch die zweite Nahtstelle?!
dies ergibt doch eine alternierende Reihe, oder?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber das ist gar nicht so wichtig: Denn die Glieder dieser Reihe bilden ja ebenfalls keine Nullfolge.
Hanzzz Auf diesen Beitrag antworten »

okay, dann bin ich beruhigt, denn dies war auch mein Gedankengang.

Hab nämlich vom TR mit x=-0,5 die Partialsummen bis 50, 100 und 200 berechnet und da siehst so aus, als ob die Reihe konvergieren würde.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hanzzz
dann bin ich mal froh, das du nicht mein Aufgabensteller bist Augenzwinkern


Kannst du etwa nicht begründen, warum die Folge nicht gegen Null konvergiert? Teufel
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